Question

1. points c, a, n, d and y are all collinear in that order. n is the mid - point of cy and d is the mid - point of ny. given that cn = 10x - 12, ca = 6x - 3 and cy = 36, find ca.
2. point y lies inside ∠ohm. given that hy bisects ∠ohm, ∠ohy=( - 8x + 26)° and ∠yhm=(50 + 4x)°, find m∠ohm.

©leigh heilemeier, 2023

Explanation:

Step1: Usar la propiedad de punto medio

Como N es el punto medio de \(CY\), entonces \(CN = NY\) y \(CY=CN + NY\). Además, sabemos que \(CY = 36\) y \(CN=10x - 12\). Entonces \(2CN=CY\), es decir \(2(10x - 12)=36\).

Step2: Resolver la ecuación para \(x\)

Expandimos la ecuación \(2(10x - 12)=36\):
\[

$$\begin{align*} 20x-24&=36\\ 20x&=36 + 24\\ 20x&=60\\ x&=3 \end{align*}$$

\]

Step3: Encontrar la longitud de \(CA\)

Dado que \(CA = 6x-3\), sustituimos \(x = 3\) en la expresión:
\[

$$\begin{align*} CA&=6\times3-3\\ &=18 - 3\\ &=15 \end{align*}$$

\]

Step1: Usar la propiedad de bisectriz

Como \(\overline{HY}\) bisecta \(\angle OHM\), entonces \(\angle OHY=\angle YHM\). Dado que \(\angle OHY=(- 8x + 26)^{\circ}\) y \(\angle YHM=(50 + 4x)^{\circ}\), entonces \(-8x + 26=50 + 4x\).

Step2: Resolver la ecuación para \(x\)

\[

$$\begin{align*} -8x-4x&=50 - 26\\ -12x&=24\\ x&=- 2 \end{align*}$$

\]

Step3: Encontrar la medida de \(\angle OHM\)

Como \(\angle OHM=\angle OHY+\angle YHM\) y \(\angle OHY=\angle YHM=(50 + 4x)^{\circ}\), entonces \(\angle OHM = 2(50 + 4x)^{\circ}\). Sustituimos \(x=-2\):
\[

$$\begin{align*} \angle OHM&=2(50+4\times(-2))\\ &=2(50 - 8)\\ &=2\times42\\ &=84^{\circ} \end{align*}$$

\]

Answer:

15