Question

in problems 13 - 22, write the standard form of the equation and the general form of the equation of each circle of radius r and center (h,k). graph each circle. 13. r = 2; (h,k)=(0,0) 14. r = 3; (h,k)=(0,0) 15. r = 2; (h,k)=(0,2) 16. r = 3; (h,k)=(1,0) 17. r = 5; (h,k)=(4, - 3) 18. r = 4; (h,k)=(2, - 3) 19. r = 4; (h,k)=(-2,1) 20. r = 7; (h,k)=(-5,-2) 21. r = 1/2; (h,k)=(1/2,0) 22. r = 1/2; (h,k)=(0,-1/2) in problems 23 - 36, (a) find the center (h,k) and radius r of each circle; (b) graph each circle; (c) find the intercepts, if any.

Explanation:

Step1: Escribir la fórmula de la ecuación estándar de un círculo

La ecuación estándar de un círculo con centro \((h,k)\) y radio \(r\) es \((x - h)^2+(y - k)^2=r^2\).

Step2: Encontrar la ecuación general del círculo

Desarrollamos la ecuación estándar: \(x^{2}-2hx + h^{2}+y^{2}-2ky + k^{2}-r^{2}=0\).

Tomemos el problema 13 donde \(r = 2\) y \((h,k)=(0,0)\):

• Ecuación estándar:
• Sustituimos \(h = 0\), \(k = 0\) y \(r = 2\) en la fórmula \((x - h)^2+(y - k)^2=r^2\). Obtenemos \((x - 0)^2+(y - 0)^2=2^2\), es decir \(x^{2}+y^{2}=4\).
• Ecuación general:
• Desarrollando \(x^{2}+y^{2}-4 = 0\) (ya que \(h = 0\), \(k = 0\) en \(x^{2}-2hx + h^{2}+y^{2}-2ky + k^{2}-r^{2}=0\)).

Tomemos el problema 14 donde \(r = 3\) y \((h,k)=(0,0)\):

• Ecuación estándar:
• Sustituimos en la fórmula \((x - h)^2+(y - k)^2=r^2\), obtenemos \((x - 0)^2+(y - 0)^2=3^2\), es decir \(x^{2}+y^{2}=9\).
• Ecuación general:
• Desarrollando \(x^{2}+y^{2}-9 = 0\).

Tomemos el problema 15 donde \(r = 2\) y \((h,k)=(0,2)\):

• Ecuación estándar:
• Sustituimos en la fórmula \((x - 0)^2+(y - 2)^2=2^2\), es decir \(x^{2}+(y - 2)^2=4\).
• Ecuación general:
• Desarrollamos: \(x^{2}+y^{2}-4y+4 - 4=0\), es decir \(x^{2}+y^{2}-4y=0\).

Tomemos el problema 16 donde \(r = 3\) y \((h,k)=(1,0)\):

• Ecuación estándar:
• Sustituimos en la fórmula \((x - 1)^2+(y - 0)^2=3^2\), es decir \((x - 1)^2+y^{2}=9\).
• Ecuación general:
• Desarrollamos: \(x^{2}-2x + 1+y^{2}-9=0\), es decir \(x^{2}+y^{2}-2x - 8=0\).

Answer:

Para cada problema, la ecuación estándar y general es:

• Problema 13:
• Ecuación estándar: \(x^{2}+y^{2}=4\)
• Ecuación general: \(x^{2}+y^{2}-4 = 0\)
• Problema 14:
• Ecuación estándar: \(x^{2}+y^{2}=9\)
• Ecuación general: \(x^{2}+y^{2}-9 = 0\)
• Problema 15:
• Ecuación estándar: \(x^{2}+(y - 2)^2=4\)
• Ecuación general: \(x^{2}+y^{2}-4y=0\)
• Problema 16:
• Ecuación estándar: \((x - 1)^2+y^{2}=9\)
• Ecuación general: \(x^{2}+y^{2}-2x - 8=0\)