Question

right triangles 1, 2, and 3 are given with all their angle measures and approximate side lengths.

use one of the triangles to approximate $ef$ in the triangle below.

choose 1 answer:
a 2.2 units
b 3.4 units
c 5.6 units
d 16.5 units

Explanation:

Step1: Identificar triángulo similar

El triángulo objetivo (DEF, rectángulo en F, ángulo de 20° en D) es semejante al triángulo 1, ya que comparten los mismos ángulos (90°, 20°, 70°). En el triángulo 1, el lado opuesto al ángulo de 20° es 3.4, y la hipotenusa es 10.

Step2: Establecer proporción de semejanza

En el triángulo DEF, la hipotenusa es $DE$, y el lado opuesto al ángulo de 20° es $EF$. En el triángulo 1, la relación entre el lado opuesto a 20° y la hipotenusa es $\frac{3.4}{10}$. Primero, calculamos la hipotenusa $DE$ del triángulo DEF usando el teorema de Pitágoras:
$$DE = \sqrt{EF^2 + DF^2}$$
Pero usando la semejanza, la relación de los lados correspondientes es constante. En el triángulo 1, el lado adyacente al ángulo de 20° es 9.4, la hipotenusa es 10. En el triángulo DEF, el lado adyacente al ángulo de 20° es $DF=6$, y el lado opuesto es $EF$. Usamos la relación de los lados opuestos y adyacentes (tangente):
En el triángulo 1: $\tan(20°) = \frac{3.4}{9.4}$
En el triángulo DEF: $\tan(20°) = \frac{EF}{6}$
Igualamos las dos expresiones:
$$\frac{EF}{6} = \frac{3.4}{9.4}$$

Step3: Calcular EF

Despejamos $EF$:
$$EF = 6 \times \frac{3.4}{9.4} \approx 6 \times 0.3617 \approx 2.17 \approx 2.2$$

Answer:

A. 2.2 units