Question

simplify.
\sqrt{25w^{21}}
assume that the variable represents a positive real number.

Explanation:

Step1: 分解被开方数

将\(25w^{21}\)分解为\(25\times w^{20}\times w\)，因为\(25 = 5^2\)，\(w^{21}=w^{20}\times w=(w^{10})^2\times w\)。
\[
\sqrt{25w^{21}}=\sqrt{25\times w^{20}\times w}
\]

Step2: 利用根式性质\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\)

根据根式的乘法性质，将根式拆分为几个根式的乘积：
\[
\sqrt{25\times w^{20}\times w}=\sqrt{25}\times\sqrt{w^{20}}\times\sqrt{w}
\]

Step3: 分别化简每个根式

因为\(\sqrt{25} = 5\)，\(\sqrt{w^{20}}=w^{10}\)（因为\(w\)是正实数，\((w^{10})^2 = w^{20}\)），\(\sqrt{w}=w^{\frac{1}{2}}\)，所以：
\[
\sqrt{25}\times\sqrt{w^{20}}\times\sqrt{w}=5\times w^{10}\times w^{\frac{1}{2}}
\]

Step4: 合并同底数幂

根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，\(w^{10}\times w^{\frac{1}{2}}=w^{10 + \frac{1}{2}}=w^{\frac{21}{2}}\)？不，不对，重新看，其实\(w^{20}\)是\((w^{10})^2\)，所以\(\sqrt{w^{20}} = w^{10}\)，而\(w^{21}=w^{20}\times w=(w^{10})^2\times w\)，所以\(\sqrt{w^{21}}=\sqrt{(w^{10})^2\times w}=w^{10}\sqrt{w}\)，所以整体：
\[
\sqrt{25w^{21}} = 5w^{10}\sqrt{w}
\]
或者也可以写成\(5w^{10}w^{\frac{1}{2}} = 5w^{\frac{21}{2}}\)，不过通常更倾向于把根式部分保留，所以化简结果为\(5w^{10}\sqrt{w}\)（或者\(5w^{\frac{21}{2}}\)）。

Answer:

\(5w^{10}\sqrt{w}\)（或\(5w^{\frac{21}{2}}\)）