Question

symbole | description | exemple
{...,...,...,...} | ensemble (liste d’éléments) |
∈ | un élément appartient à un ensemble |
⊂ | un sous - ensemble est inclus dans un ensemble |

• | non nul ( = sauf 0 ) ( * rajouté après le symbole d’un ensemble ℕ, ℤ, ...) |

exercices:

1. indique le nombre d’éléments (ou de membres) de chaque ensemble.

a) {bleu, vert, rouge, jaune} b) {a, b, c, d, e, f, g} c) {ontario, alberta, manitoba}
d) {2,5,6,8,10} e) {-9, -8, -7} f) {0,1} g) {0} h) {1,2,3,4,5,...} i) {}

1. explique pourquoi l’ensemble {7,9,12} est un sous - ensemble de l’ensemble {5,6,7,8,9,10,11,12}.
2. explique pourquoi l’ensemble {0,1,4,9,16} n’est pas un sous - ensemble de l’ensemble {1,2,3,4,5,...}.
3. voici un schéma qui représente le système des nombres réels.

classifie les nombres suivants en les plaçant correctement dans le schéma.
-0,5, 84, \\(\frac{5}{8}\\), \\(\sqrt{7}\\), -141, \\(0,\overline{6}\\), \\(\pi\\), \\(-\frac{1}{3}\\), 0, 1000
schéma : r contient z, q et q’; z contient n; q et q’ sont disjoints

1. jonah a déclaré que les sous - ensembles ont toujours moins d’éléments que leurs ensembles parents.

l’affirmation de jonas est - elle correcte ? explique.

Explanation:

Step1: Compter éléments (a)

Ensemble {bleu, vert, rouge, jaune} : 4 éléments

Step2: Compter éléments (b)

Ensemble {a, b, c, d, e, f, g} : 7 éléments

Step3: Compter éléments (c)

Ensemble {Ontario, Alberta, Manitoba} : 3 éléments

Step4: Compter éléments (d)

Ensemble {2,5,6,8,10} : 5 éléments

Step5: Compter éléments (e)

Ensemble {-9,-8,-7} : 3 éléments

Step6: Compter éléments (f)

Ensemble {0,1} : 2 éléments

Step7: Compter éléments (g)

Ensemble {0} : 1 élément

Step8: Compter éléments (h)

Ensemble {1,2,3,4,5,...} : Nombre infini d'éléments

Step9: Compter éléments (i)

Ensemble {} (ensemble vide) : 0 élément
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Step10: Expliquer sous-ensemble (ex2)

Vérifier appartenance des éléments :
$7 \in \{5,6,7,8,9,10,11,12\}$, $9 \in \{5,6,7,8,9,10,11,12\}$, $12 \in \{5,6,7,8,9,10,11,12\}$
Tous les éléments de $\{7,9,12\}$ sont dans l'autre ensemble.
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Step11: Expliquer non sous-ensemble (ex3)

Vérifier appartenance de 0 :
$0
otin \{1,2,3,4,5,...\}$ (cet ensemble ne contient pas 0)
Donc $\{0,1,4,9,16\}$ n'est pas inclus.
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Step12: Classifier nombres (ex5)

• $\mathbb{N}$ (nombres naturels) : $84, 0, 1000$
• $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ (entiers négatifs) : $-141$
• $\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ (rationnels non entiers) : $-0,5, \frac{5}{8}, 0,\bar{6}, -\frac{1}{3}$
• $\mathbb{Q}'$ (irrationnels) : $\sqrt{7}, \pi$

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Step13: Vérifier affirmation (ex7)

Un ensemble est toujours un sous-ensemble de lui-même : $E \subset E$. Dans ce cas, ils ont le même nombre d'éléments. De plus, pour des ensembles infinis, un sous-ensemble infini peut avoir le même "taille" que l'ensemble parent (ex: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, les deux sont infinis).

Answer:

1)
a) 4
b) 7
c) 3
d) 5
e) 3
f) 2
g) 1
h) Nombre infini
i) 0

1. Tous les éléments de $\{7,9,12\}$ (soit 7, 9 et 12) sont présents dans l'ensemble $\{5,6,7,8,9,10,11,12\}$, c'est la définition d'un sous-ensemble.

1. L'élément 0 appartient à $\{0,1,4,9,16\}$ mais n'est pas présent dans $\{1,2,3,4,5,...\}$, donc l'ensemble n'est pas inclus.

5)

• $\mathbb{N}$ : $84, 0, 1000$
• $\mathbb{Z}$ (hors $\mathbb{N}$) : $-141$
• $\mathbb{Q}$ (hors $\mathbb{Z}$) : $-0,5, \frac{5}{8}, 0,\bar{6}, -\frac{1}{3}$
• $\mathbb{Q}'$ : $\sqrt{7}, \pi$

1. L'affirmation est incorrecte. Un ensemble est toujours un sous-ensemble de lui-même, donc ils ont le même nombre d'éléments. Par ailleurs, des ensembles infinis peuvent avoir des sous-ensembles infinis avec la même "taille" (ex: les nombres pairs sont un sous-ensemble de $\mathbb{N}$ et les deux sont infinis).