Question

compositions of transformations

1. translate (x,y)→(x + 6,y + 1) and reflect over x - axis

a\ coordinate:
b\ coordinate:
c\ coordinate:

1. rotate 90° ccw about origin and translate (x,y)→(x + 3,y + 1)

a\ coordinate:
b\ coordinate:
c\ coordinate:

1. translate (x,y)→(x - 1,y + 4) and rotate 180° about origin

a\ coordinate:
b\ coordinate:
c\ coordinate:

Explanation:

Paso1: Encontrar coordenadas después de la traslación

Para el primer caso, la traslación es $(x,y)\to(x + 6,y+1)$. Supongamos que las coordenadas originales de un punto son $(x_0,y_0)$. Las coordenadas después de la traslación son $(x_1,y_1)=(x_0 + 6,y_0+1)$.

Paso2: Encontrar coordenadas después de la reflexión

La reflexión sobre el eje $x$ se realiza con la regla $(x,y)\to(x,-y)$. Si las coordenadas después de la traslación son $(x_1,y_1)$, las coordenadas después de la reflexión, $(x_2,y_2)=(x_1,-y_1)$.

Para el primer triángulo:
Supongamos que $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$ y $C=(x_C,y_C)$.
Después de la traslación $(x,y)\to(x + 6,y+1)$:
$A'=(x_A + 6,y_A+1)$, $B'=(x_B + 6,y_B+1)$, $C'=(x_C + 6,y_C+1)$
Después de la reflexión sobre el eje $x$:
$A''=(x_A + 6,-(y_A+1))$, $B''=(x_B + 6,-(y_B+1))$, $C''=(x_C + 6,-(y_C+1))$

Para el segundo caso:

Paso1: Rotación de $90^{\circ}$ en sentido anti - relojero alrededor del origen

La regla para rotar un punto $(x,y)$ $90^{\circ}$ en sentido anti - relojero alrededor del origen es $(x,y)\to(-y,x)$. Si las coordenadas originales de un punto son $(x_0,y_0)$, las coordenadas después de la rotación son $(x_1,y_1)=(-y_0,x_0)$.

Paso2: Traslación

La traslación es $(x,y)\to(x + 3,y+1)$. Si las coordenadas después de la rotación son $(x_1,y_1)$, las coordenadas después de la traslación son $(x_2,y_2)=(x_1 + 3,y_1+1)$

Para el tercer caso:

Paso1: Traslación

La traslación es $(x,y)\to(x-1,y + 4)$. Si las coordenadas originales de un punto son $(x_0,y_0)$, las coordenadas después de la traslación son $(x_1,y_1)=(x_0-1,y_0 + 4)$.

Paso2: Rotación de $180^{\circ}$ alrededor del origen

La regla para rotar un punto $(x,y)$ $180^{\circ}$ alrededor del origen es $(x,y)\to(-x,-y)$. Si las coordenadas después de la traslación son $(x_1,y_1)$, las coordenadas después de la rotación son $(x_2,y_2)=(-x_1,-y_1)$

Sin conocer las coordenadas originales de $A$, $B$ y $C$, no podemos dar valores numéricos. Pero las fórmulas generales para encontrar las coordenadas finales son las mostradas arriba.

Respuesta:

Para el primer triángulo:
$A''=(x_A + 6,-(y_A+1))$, $B''=(x_B + 6,-(y_B+1))$, $C''=(x_C + 6,-(y_C+1))$
Para el segundo triángulo:
$A''=(-y_A+3,x_A + 1)$, $B''=(-y_B+3,x_B + 1)$, $C''=(-y_C+3,x_C + 1)$
Para el tercer triángulo:
$A''=-(x_A-1),-(y_A + 4)$, $B''=-(x_B-1),-(y_B + 4)$, $C''=-(x_C-1),-(y_C + 4)$

Answer:

Paso1: Encontrar coordenadas después de la traslación

Para el primer caso, la traslación es $(x,y)\to(x + 6,y+1)$. Supongamos que las coordenadas originales de un punto son $(x_0,y_0)$. Las coordenadas después de la traslación son $(x_1,y_1)=(x_0 + 6,y_0+1)$.

Paso2: Encontrar coordenadas después de la reflexión

La reflexión sobre el eje $x$ se realiza con la regla $(x,y)\to(x,-y)$. Si las coordenadas después de la traslación son $(x_1,y_1)$, las coordenadas después de la reflexión, $(x_2,y_2)=(x_1,-y_1)$.

Para el primer triángulo:
Supongamos que $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$ y $C=(x_C,y_C)$.
Después de la traslación $(x,y)\to(x + 6,y+1)$:
$A'=(x_A + 6,y_A+1)$, $B'=(x_B + 6,y_B+1)$, $C'=(x_C + 6,y_C+1)$
Después de la reflexión sobre el eje $x$:
$A''=(x_A + 6,-(y_A+1))$, $B''=(x_B + 6,-(y_B+1))$, $C''=(x_C + 6,-(y_C+1))$

Para el segundo caso:

Paso1: Rotación de $90^{\circ}$ en sentido anti - relojero alrededor del origen

La regla para rotar un punto $(x,y)$ $90^{\circ}$ en sentido anti - relojero alrededor del origen es $(x,y)\to(-y,x)$. Si las coordenadas originales de un punto son $(x_0,y_0)$, las coordenadas después de la rotación son $(x_1,y_1)=(-y_0,x_0)$.

Paso2: Traslación

La traslación es $(x,y)\to(x + 3,y+1)$. Si las coordenadas después de la rotación son $(x_1,y_1)$, las coordenadas después de la traslación son $(x_2,y_2)=(x_1 + 3,y_1+1)$

Para el tercer caso:

Paso1: Traslación

La traslación es $(x,y)\to(x-1,y + 4)$. Si las coordenadas originales de un punto son $(x_0,y_0)$, las coordenadas después de la traslación son $(x_1,y_1)=(x_0-1,y_0 + 4)$.

Paso2: Rotación de $180^{\circ}$ alrededor del origen

La regla para rotar un punto $(x,y)$ $180^{\circ}$ alrededor del origen es $(x,y)\to(-x,-y)$. Si las coordenadas después de la traslación son $(x_1,y_1)$, las coordenadas después de la rotación son $(x_2,y_2)=(-x_1,-y_1)$

Sin conocer las coordenadas originales de $A$, $B$ y $C$, no podemos dar valores numéricos. Pero las fórmulas generales para encontrar las coordenadas finales son las mostradas arriba.

Respuesta:

Para el primer triángulo:
$A''=(x_A + 6,-(y_A+1))$, $B''=(x_B + 6,-(y_B+1))$, $C''=(x_C + 6,-(y_C+1))$
Para el segundo triángulo:
$A''=(-y_A+3,x_A + 1)$, $B''=(-y_B+3,x_B + 1)$, $C''=(-y_C+3,x_C + 1)$
Para el tercer triángulo:
$A''=-(x_A-1),-(y_A + 4)$, $B''=-(x_B-1),-(y_B + 4)$, $C''=-(x_C-1),-(y_C + 4)$