Question

exercices

1. rendre rationnel le dénominateur des nombres suivants :

\\(\frac{5 - 2sqrt{3}}{3sqrt{3} - 5}\\) ; \\(\frac{3sqrt{5} - 3}{2sqrt{3}}\\) ; \\(\frac{2}{3sqrt{2} - 2sqrt{3}}\\)

1. mettre les expressions suivantes sous la forme \\(a + bsqrt{c}\\)

\\(a = \frac{2}{1 - sqrt{3}} + \frac{1}{1 + sqrt{3}}\\) ; \\(b = \frac{sqrt{3}}{sqrt{3} - sqrt{2}} + \frac{sqrt{2}}{sqrt{3} + sqrt{2}}\\)

Explanation:

Partie 1: Rendre rationnel le dénominateur

Step1: Cas 1: Rationnaliser $\frac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}$

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit $3\sqrt{3}+5$:

$$ \frac{(5-2\sqrt{3})(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5)} $$

Calcul du dénominateur (identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$):

$$ (3\sqrt{3})^2 - 5^2 = 27 - 25 = 2 $$

Calcul du numérateur:

$$ 5\times3\sqrt{3} + 5\times5 - 2\sqrt{3}\times3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\times5 = 15\sqrt{3} + 25 - 18 - 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3} + 7 $$

On obtient donc:

$$ \frac{7+5\sqrt{3}}{2} $$

Step2: Cas 2: Rationnaliser $\frac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}$

On multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt{3}$:

$$ \frac{(3\sqrt{5}-3)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{15}-3\sqrt{3}}{2\times3} = \frac{3(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{6} $$

Simplifier par 3:

$$ \frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2} $$

Step3: Cas 3: Rationnaliser $\frac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué $3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$:

$$ \frac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})} $$

Calcul du dénominateur:

$$ (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 18 - 12 = 6 $$

Calcul du numérateur:

$$ 2\times3\sqrt{2} + 2\times2\sqrt{3} = 6\sqrt{2} + 4\sqrt{3} $$

Simplifier par 2:

$$ \frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3} $$

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Partie 2: Mettre sous forme $a+b\sqrt{c}$

Step1: Calculer $A = \frac{1}{1-\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}}$

On regroupe les fractions sur un dénominateur commun $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})$:

$$ A = \frac{(1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} $$

Calcul du numérateur:

$$ 1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3} = 2 $$

Calcul du dénominateur (identité remarquable):

$$ 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2 $$

On obtient:

$$ A = \frac{2}{-2} = -1 $$

Ce qui correspond à la forme $a+b\sqrt{c}$ avec $a=-1$, $b=0$, $c$ quelconque.

Step2: Calculer $B = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

On rationnalise chaque fraction séparément:
Pour $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, multiplier par $\sqrt{3}+\sqrt{2}$:

$$ \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3+\sqrt{6}}{3-2} = 3+\sqrt{6} $$

Pour $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$, multiplier par $\sqrt{3}-\sqrt{2}$:

$$ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6}-2}{3-2} = \sqrt{6}-2 $$

Additionner les deux résultats:

$$ B = (3+\sqrt{6}) + (\sqrt{6}-2) = 1 + 2\sqrt{6} $$

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Answer:

1) Rationnalisation des dénominateurs:

1. $\frac{7+5\sqrt{3}}{2}$
2. $\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$
3. $\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}$

2) Forme $a+b\sqrt{c}$:

1. $A = -1$ (soit $-1 + 0\sqrt{2}$)
2. $B = 1 + 2\sqrt{6}$