find the limit.
61) $lim_{x
ightarrow(-2)^-}\frac{1}{x + 2}$
62) $lim_{x
ightarrow(-2)^+}\frac{1}{x + 2}$
63) $lim_{x
ightarrow - 2}\frac{1}{x + 2}$
64) $lim_{x
ightarrow0}\frac{1}{x^{2/3}}$
65) $lim_{x
ightarrow(pi/2)^+} an x$
66) $lim_{x
ightarrow(-pi/2)^-}sec x$
67) $lim_{x
ightarrow0^+}(1+csc x)$
68) $lim_{x
ightarrow0}(1 - cot x)$

Question

find the limit.
61) $lim_{x
ightarrow(-2)^-}\frac{1}{x + 2}$
62) $lim_{x
ightarrow(-2)^+}\frac{1}{x + 2}$
63) $lim_{x
ightarrow - 2}\frac{1}{x + 2}$
64) $lim_{x
ightarrow0}\frac{1}{x^{2/3}}$
65) $lim_{x
ightarrow(pi/2)^+}	an x$
66) $lim_{x
ightarrow(-pi/2)^-}sec x$
67) $lim_{x
ightarrow0^+}(1+csc x)$
68) $lim_{x
ightarrow0}(1 - cot x)$

Accepted Answer

# Explanation:
## 61)
### Step1: Analyze left - hand limit
As $x\to(- 2)^{-}$, let $x=-2 - h$ where $h\to0^{+}$. Then $\frac{1}{x + 2}=\frac{1}{-2 - h+2}=-\frac{1}{h}$. As $h\to0^{+}$, $\lim_{x\to(-2)^{-}}\frac{1}{x + 2}=-\infty$.
## 62)
### Step1: Analyze right - hand limit
As $x\to(-2)^{+}$, let $x=-2 + h$ where $h\to0^{+}$. Then $\frac{1}{x + 2}=\frac{1}{-2 + h+2}=\frac{1}{h}$. As $h\to0^{+}$, $\lim_{x\to(-2)^{+}}\frac{1}{x + 2}=\infty$.
## 63)
### Step1: Check one - sided limits
Since $\lim_{x\to(-2)^{-}}\frac{1}{x + 2}=-\infty$ and $\lim_{x\to(-2)^{+}}\frac{1}{x + 2}=\infty$, the two - sided limit $\lim_{x\to - 2}\frac{1}{x + 2}$ does not exist.
## 64)
### Step1: Analyze limit as $x\to0$
As $x\to0$, if $x\to0^{+}$, $\frac{1}{x^{2/3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\to+\infty$, and if $x\to0^{-}$, $\frac{1}{x^{2/3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\to+\infty$. So $\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2/3}}=\infty$.
## 65)
### Step1: Recall tangent function
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$. As $x\to(\frac{\pi}{2})^{+}$, $\cos x\to0^{-}$ and $\sin x\to1$. So $\lim_{x\to(\frac{\pi}{2})^{+}}\tan x=-\infty$.
## 66)
### Step1: Recall secant function
$\sec x=\frac{1}{\cos x}$. As $x\to(-\frac{\pi}{2})^{-}$, $\cos x\to0^{-}$. So $\lim_{x\to(-\frac{\pi}{2})^{-}}\sec x=-\infty$.
## 67)
### Step1: Recall cosecant function
$\csc x=\frac{1}{\sin x}$. As $x\to0^{+}$, $\sin x\to0^{+}$, so $\csc x\to+\infty$. Then $\lim_{x\to0^{+}}(1 + \csc x)=\infty$.
## 68)
### Step1: Recall cotangent function
$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$. As $x\to0$, $\lim_{x\to0}\cos x = 1$ and $\lim_{x\to0}\sin x=0$. $\lim_{x\to0}\cot x=\infty$, so $\lim_{x\to0}(1-\cot x)=-\infty$.

# Answer:
61) $-\infty$
62) $\infty$
63) Does not exist
64) $\infty$
65) $-\infty$
66) $-\infty$
67) $\infty$
68) $-\infty$

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QUESTION IMAGE

Question

Explanation:

61)

Step1: Analyze left - hand limit

62)

Step1: Analyze right - hand limit

63)

Step1: Check one - sided limits

64)

Step1: Analyze limit as \(x\to0\)

65)

Step1: Recall tangent function

66)

Step1: Recall secant function

67)

Step1: Recall cosecant function

68)

Step1: Recall cotangent function

Answer: