Question

the graphs represent a rotation around a fixed point.
pre-image (graph) image (graph)
which statement correctly describes the rotation from the pre-image to the image?
a. 90° clockwise rotation around the point (2,2)
b. 90° clockwise rotation around the point (1,1)
c. 180° clockwise rotation around the point (2,2)
d. 180° clockwise rotation around the point (1,1)

Explanation:

Step1: Analizar la rotación de un vértice

Tomemos un vértice del pre-imagen, por ejemplo, el vértice superior izquierdo del rectángulo pre-imagen: (-2, 3). Ahora, veamos su imagen después de la rotación. El vértice correspondiente en la imagen es (1, 4)? No, mejor tomar un vértice más claro. El rectángulo pre-imagen tiene vértices, por ejemplo, (-3, 3), (-1, 3), (-1, 1), (-3, 1)? Espero, la cuadrícula: el pre-imagen está de x=-3 a x=1 (ancho 4) y y=1 a y=3 (alto 2)? No, la primera gráfica: eje x de -4 a 4, eje y de -4 a 4. El pre-imagen es un rectángulo horizontal: digamos vértices en (-3, 3), (-1, 3), (-1, 1), (-3, 1)? No, quizás (-2, 3), (1, 3), (1, 1), (-2, 1)? Wait, la imagen es un rectángulo vertical. Entonces, una rotación de 90 grados en sentido horario convertiría un rectángulo horizontal en vertical. Ahora, para encontrar el centro de rotación, el centro de rotación es un punto que está a la misma distancia de un punto y su imagen después de la rotación.

Tomemos el vértice (-2, 3) del pre-imagen. Su imagen después de una rotación de 90 grados en sentido horario alrededor de (h, k) se calcula con la fórmula de rotación de 90 grados en sentido horario: (x, y) → (y - k + h, -x + h + k). Espero, la fórmula de rotación de un punto (x, y) alrededor de (h, k) de 90 grados en sentido horario es: (h + (y - k), k - (x - h)) = (h + y - k, k - x + h).

Prueba con opción B: centro (1,1). Tomemos el vértice (-2, 3) del pre-imagen. Aplicar la rotación de 90 grados en sentido horario alrededor de (1,1):

Nuevo x = 1 + (3 - 1) = 1 + 2 = 3? No, espera, la fórmula correcta para rotación de 90 grados en sentido horario alrededor de (h,k) es: (x', y') = (h + (y - k), k - (x - h)). Entonces para (x,y)=(-2,3), h=1, k=1:

x' = 1 + (3 - 1) = 1 + 2 = 3? No, la imagen del rectángulo pre-imagen es el rectángulo vertical en la segunda gráfica. El rectángulo pre-imagen: su lado horizontal es de longitud, digamos, de x=-3 a x=1 (ancho 4) y y=1 a y=3 (alto 2). El rectángulo imagen es vertical, de x=1 a x=3 (ancho 2) y y=1 a y=5? No, la segunda gráfica: el rectángulo está de x=1 a x=3, y=1 a y=5? No, la cuadrícula: eje y hasta 4. Entonces el rectángulo imagen tiene vértices en (1, 1), (3, 1), (3, 4), (1, 4)? Wait, la primera gráfica (pre-imagen) tiene un rectángulo con vértices, por ejemplo, (-2, 3), (1, 3), (1, 1), (-2, 1) (ancho 3 unidades, alto 2). La segunda gráfica (imagen) tiene un rectángulo con vértices (1, 1), (3, 1), (3, 4), (1, 4) (ancho 2, alto 3). Ah, así que la rotación de 90 grados en sentido horario (que cambia un rectángulo horizontal a vertical, intercambiando ancho y alto). Ahora, para encontrar el centro de rotación, el centro debe ser equidistante de un punto y su imagen. Tomemos el vértice (-2, 1) del pre-imagen. Su imagen después de rotación de 90 grados en sentido horario: si el centro es (1,1), entonces la rotación de (-2,1) alrededor de (1,1) de 90 grados en sentido horario: la distancia horizontal entre (-2,1) y (1,1) es 3 unidades a la izquierda. La rotación de 90 grados en sentido horario hará que la distancia vertical sea 3 unidades arriba. Entonces el punto imagen sería (1, 1 + 3) = (1,4). Ahora, en la imagen, el vértice superior izquierdo es (1,4), que coincide. Ahora, otro vértice: (-2,3) del pre-imagen. Rotar alrededor de (1,1) de 90 grados en sentido horario: la distancia horizontal es -2 -1 = -3 (3 unidades a la izquierda), la distancia vertical es 3 -1 = 2 (2 unidades arriba). Rotar 90 grados en sentido horario: la nueva horizontal es 1 + 2 = 3 (distancia vertical original), la nueva vertical es 1 - (-3) = 4 (distancia horizontal original negada). Entonces el punto imagen es (3,4), que es el vértice superior derecho de la imagen. Perfecto. Ahora, comprobar la rotación de 90 grados: un rectángulo horizontal rotado 90 grados en sentido horario alrededor de (1,1) se convierte en el rectángulo vertical de la imagen. Las otras opciones: si probamos centro (2,2), el cálculo no coincide. Rotación de 180 grados no haría un cambio de horizontal a vertical, sino que invertiría la figura, manteniendo la orientación (horizontal). Entonces la opción correcta es B.

Answer:

B. \( 90^\circ \) clockwise rotation around the point \( (1, 1) \)