Question

hj is 20, hi is 12, jg is 30, fi and hg are parallel, ij and fg are parallel. find fj. fj = \boxed{}

Explanation:

Step1: Identificar triángulos semejantes

Los triángulos \( HIJ \) y \( HGF \) son semejantes (por las líneas paralelas, lo que implica ángulos iguales y proporción de lados). La proporción de los lados correspondientes es la misma. El lado \( HJ = 20 \), \( H I = 12 \), y el lado \( GJ = 30 \)? Espera, no, mejor: el lado \( HJ \) (de longitud 20) y el lado correspondiente en el triángulo grande? Wait, la longitud de \( HJ \) es 20, \( HI = 12 \), y el lado \( GJ \) (o el lado correspondiente en el triángulo grande) es 30? Wait, no, la figura muestra que \( HJ \) y el otro lado (con longitud 30) son paralelos? Wait, las líneas con marcas de igualdad son paralelas, y los triángulos son semejantes por el criterio de semejanza (AA, ya que las líneas son paralelas, los ángulos correspondientes son iguales). Entonces, la proporción de los lados es \( \frac{HI}{HJ} = \frac{FJ}{GJ} \)? Wait, no, \( HI = 12 \), \( HJ = 20 \), y el lado \( GJ \) (la longitud del lado del triángulo grande) es 30? Wait, quizás la proporción es \( \frac{HI}{HJ} = \frac{FJ}{GJ} \)? Wait, no, mejor: el triángulo \( IJF \) y \( HJG \) son semejantes? Wait, \( HI = 12 \), \( HJ = 20 \), entonces la razón de semejanza es \( \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \). Entonces, el lado \( FJ \) debe ser \( 30 \times \frac{3}{5} \)? Wait, no, \( 30 \) es el lado del triángulo grande? Wait, la longitud del lado del triángulo grande es 30, y el lado del pequeño es \( FJ \). Entonces, la razón de semejanza es \( \frac{HI}{HJ} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \). Entonces, \( FJ = 30 \times \frac{12}{20} \)? Wait, \( 30 \times \frac{12}{20} = 30 \times \frac{3}{5} = 18 \)? Wait, no, \( 12/20 = 3/5 \), entonces \( FJ = 30 \times (12/20) \)? Wait, \( 30 \times 12 = 360 \), dividido por 20 es 18. Sí, eso tiene sentido.

Step2: Calcular \( FJ \)

La proporción de los lados semejantes es \( \frac{HI}{HJ} = \frac{FJ}{GJ} \) (suponiendo que \( GJ = 30 \), \( HI = 12 \), \( HJ = 20 \)). Entonces:
\( FJ = \frac{HI \times GJ}{HJ} \)
Sustituyendo los valores: \( HI = 12 \), \( GJ = 30 \), \( HJ = 20 \)
\( FJ = \frac{12 \times 30}{20} \)
Simplificar: \( \frac{360}{20} = 18 \)

Answer:

\( 18 \)