Question

f(x) = lg\frac{2x + 1}{x + 1} 函数图像

Explanation:

Step1: 确定函数表达式

从图中识别函数为\( f(x)=\lg\frac{2x + 1}{x^{2}+x - 2}\)。

Step2: 分析定义域（真数大于0）

要使对数有意义，真数\(\frac{2x + 1}{x^{2}+x - 2}>0\)，即\((2x + 1)(x^{2}+x - 2)>0\)。
分解\(x^{2}+x - 2=(x + 2)(x - 1)\)，则不等式变为\((2x + 1)(x + 2)(x - 1)>0\)。
用数轴穿根法：

• 零点为\(x=-2\)，\(x=-\frac{1}{2}\)，\(x = 1\)。
• 从右上方穿根，因为最高次项系数为正。
• 不等式大于0的区间为\((-2,-\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)\)。

Step3: 分析值域（对数函数性质）

令\(t=\frac{2x + 1}{x^{2}+x - 2}\)，先对\(t\)进行变形（可尝试求导或配方法，这里用判别式法）：
由\(t=\frac{2x + 1}{x^{2}+x - 2}\)得\(tx^{2}+(t - 2)x-(2t + 1)=0\)。
当\(t = 0\)时，\(-2x - 1 = 0\)，\(x=-\frac{1}{2}\)，但\(x=-\frac{1}{2}\)不在定义域内，舍去。
当\(t
eq0\)时，\(\Delta=(t - 2)^{2}+4t(2t + 1)\geq0\)，
展开得\(t^{2}-4t + 4+8t^{2}+4t\geq0\)，
即\(9t^{2}+4\geq0\)，恒成立。
再结合定义域内\(t\)的取值范围：
当\(x\in(-2,-\frac{1}{2})\)时，\(t=\frac{2x + 1}{(x + 2)(x - 1)}\)，\(2x + 1<0\)，\((x + 2)>0\)，\((x - 1)<0\)，所以\(t>0\)；
当\(x\in(1,+\infty)\)时，\(2x + 1>0\)，\((x + 2)>0\)，\((x - 1)>0\)，所以\(t>0\)。
又因为\(y = \lg t\)，\(t>0\)，所以值域为\(R\)。

（注：如果是求定义域，答案为\((-2,-\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)\)；如果是值域，答案为\(R\)。这里假设是求定义域或值域相关，根据常见题型，若求定义域：）

Answer:

函数\( f(x)=\lg\frac{2x + 1}{x^{2}+x - 2}\)的定义域为\(\boldsymbol{(-2,-\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)}\)（若求值域则为\(\boldsymbol{R}\)，需根据具体问题确定，这里按定义域解答）。