Question

montrer que léquation f(x)=0 admet au moins une solution sur lintervalle i dans les cas suivants: 1) f(x)=x³ - 2x² - 1 et i=2;3. 2) f(x)=x + tanx - 1 et i=0;π/4. 3) f(x)=x⁴ + x² + 4x - 1 et i=0;1. 4) f(x)=x - 2sinx et i=π/3;π. exercice 06

Explanation:

Step1: Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que si une fonction $y = f(x)$ est continue sur un intervalle $[a,b]$, et si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un nombre $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$. Ici, on veut montrer que $f(x) = 0$ a au moins une solution, on prendra $k = 0$.

Step2: Vérifier la continuité de la fonction

1. Pour $f(x)=x^{3}-2x^{2}-1$ sur $I=[2;3]$:

• Les fonctions $y = x^{3}$, $y=-2x^{2}$ et $y = - 1$ sont des polynômes. Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$, donc $f(x)$ est continue sur $[2;3]$.
• Calculons $f(2)$ et $f(3)$:
• $f(2)=2^{3}-2\times2^{2}-1=8 - 8-1=-1$.
• $f(3)=3^{3}-2\times3^{2}-1=27-18 - 1=8$.
• Puisque $f(2)=-1<0$ et $f(3)=8>0$, et $f(x)$ est continue sur $[2;3]$, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in[2;3]$ tel que $f(c) = 0$.

1. Pour $f(x)=x+\tan x - 1$ sur $I=[0;\frac{\pi}{4}]$:

• La fonction $y = x$ est un polynôme (de degré 1) et est continue sur $\mathbb{R}$, et la fonction $y=\tan x$ est continue sur l'intervalle $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Donc $f(x)$ est continue sur $[0;\frac{\pi}{4}]\subset(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.
• Calculons $f(0)$ et $f(\frac{\pi}{4})$:
• $f(0)=0+\tan(0)-1=-1$.
• $f(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}+\tan(\frac{\pi}{4})-1=\frac{\pi}{4}+1 - 1=\frac{\pi}{4}>0$.
• Puisque $f(0)<0$ et $f(\frac{\pi}{4})>0$, et $f(x)$ est continue sur $[0;\frac{\pi}{4}]$, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in[0;\frac{\pi}{4}]$ tel que $f(c)=0$.

1. Pour $f(x)=x^{4}+x^{2}+4x - 1$ sur $I=[0;1]$:

• Les fonctions $y = x^{4}$, $y = x^{2}$, $y = 4x$ et $y=-1$ sont des polynômes. Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$, donc $f(x)$ est continue sur $[0;1]$.
• Calculons $f(0)$ et $f(1)$:
• $f(0)=0^{4}+0^{2}+4\times0 - 1=-1$.
• $f(1)=1^{4}+1^{2}+4\times1-1=1 + 1+4 - 1=5$.
• Puisque $f(0)<0$ et $f(1)>0$, et $f(x)$ est continue sur $[0;1]$, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in[0;1]$ tel que $f(c)=0$.

1. Pour $f(x)=x - 2\sin x$ sur $I=[\frac{\pi}{3};\pi]$:

• Les fonctions $y = x$ et $y=-2\sin x$ sont continues sur $\mathbb{R}$. Donc $f(x)$ est continue sur $[\frac{\pi}{3};\pi]$.
• Calculons $f(\frac{\pi}{3})$ et $f(\pi)$:
• $f(\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{3}-2\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{3}-2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}\approx\frac{3.14}{3}-1.732\approx1.05 - 1.732<0$.
• $f(\pi)=\pi-2\sin(\pi)=\pi>0$.
• Puisque $f(\frac{\pi}{3})<0$ et $f(\pi)>0$, et $f(x)$ est continue sur $[\frac{\pi}{3};\pi]$, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in[\frac{\pi}{3};\pi]$ tel que $f(c)=0$.

Answer:

Pour chaque cas, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, on a montré que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur l'intervalle $I$ donné.