Question

name _______________________ date ________________ period _____________

1. proof write a paragraph proof of the angle bisector theorem.

given: $overline{bd}$ is the angle bisector of $angle abc$.
prove: $d$ is equidistant from $overline{ab}$ and $overline{bc}$.

Explanation:

Para demostrar que D equidista de $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$, primero se trazan las perpendiculares desde D a ambos lados: $\overline{DE} \perp \overline{AB}$ y $\overline{DF} \perp \overline{BC}$, por lo que $\angle BED$ y $\angle BFD$ son ángulos rectos (iguales a $90^\circ$). Dado que $\overline{BD}$ es la bisectriz de $\angle ABC$, se cumple que $\angle EBD \cong \angle FBD$. Además, $\overline{BD}$ es un lado común a los triángulos $\triangle BED$ y $\triangle BFD$. Por el criterio de congruencia AAS (Ángulo-Ángulo-Lado), los triángulos $\triangle BED \cong \triangle BFD$. Los lados correspondientes de triángulos congruentes son congruentes, así que $\overline{DE} \cong \overline{DF}$. La distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular desde el punto a la recta, por lo que las longitudes $DE = DF$, lo que significa que D equidista de $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$.

Answer:

Se demuestra que $D$ equidista de $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ al probar la congruencia de los triángulos $\triangle BED$ y $\triangle BFD$ por el criterio AAS, lo que implica que las perpendiculares desde $D$ a ambos lados ($\overline{DE}$ y $\overline{DF}$) son congruentes, por lo que sus longitudes son iguales (la distancia desde $D$ a cada lado es la misma).