Question

question 1-6
which expression is equivalent to ((xy)^{\frac{3}{5}}(x^2y)^{\frac{1}{5}})?
\\(x^{\frac{10}{25}}y^{\frac{15}{25}}\\)
\\(x^{\frac{4}{25}}y^{\frac{1}{25}}\\)
\\(x^{\frac{8}{5}}y^2\\)
\\(xy^{\frac{4}{5}}\\)

Explanation:

Step1: Aplicar la ley de exponentes \((ab)^n = a^n b^n\)

Para \((xy)^{\frac{3}{5}}\), tenemos \(x^{\frac{3}{5}}y^{\frac{3}{5}}\). Para \((x^2y)^{\frac{1}{5}}\), tenemos \(x^{2\cdot\frac{1}{5}}y^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{2}{5}}y^{\frac{1}{5}}\).

Step2: Multiplicar las expresiones y aplicar \(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\)

Multiplicamos las partes de \(x\) y \(y\) por separado:

• Para \(x\): \(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}} = x^{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}} = x^{\frac{5}{5}} = x^1\)? Espera, no, espera, \(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{5}{5}=1\)? No, el problema original es \((xy)^{\frac{3}{5}}(x^2y)^{\frac{1}{5}}\). Wait, quizás me equivoqué en la lectura. Wait, la pregunta es \((xy)^{\frac{3}{5}}(x^2y)^{\frac{1}{5}}\)? O es \((xy)^{\frac{3}{5}}(x^2y)^{\frac{1}{5}}\)? Wait, volviendo:

Wait, la expresión es \((xy)^{\frac{3}{5}}(x^2y)^{\frac{1}{5}}\). Entonces, aplicando \((ab)^n = a^n b^n\) a cada término:

\((xy)^{\frac{3}{5}} = x^{\frac{3}{5}}y^{\frac{3}{5}}\)

\((x^2y)^{\frac{1}{5}} = (x^2)^{\frac{1}{5}}y^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{2}{5}}y^{\frac{1}{5}}\) (por la ley \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\))

Ahora, multiplicamos los términos de \(x\) y \(y\) por separado:

Para \(x\): \(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}} = x^{\frac{3}{5} + \frac{2}{5}} = x^{\frac{5}{5}} = x^1\)? No, \(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{5}{5}=1\), entonces \(x^1\)? Pero los opciones no tienen \(x^1\). Wait, quizás la pregunta es \((xy)^{\frac{3}{5}}(x^2y)^{\frac{1}{5}}\) o \((xy)^{\frac{3}{5}}(x^2y)^{\frac{1}{5}}\)? Wait, quizás la pregunta es \((xy)^{\frac{3}{5}}(x^2y)^{\frac{1}{5}}\), pero los exponentes de \(x\) son \(\frac{3}{5}\) (de \(xy\)) y \(\frac{2}{5}\) (de \(x^2y\)), sumando \(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{5}{5}=1\), y para \(y\): \(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\). Pero las opciones son:

Opciones:

1. \(x^{\frac{10}{25}}y^{\frac{15}{25}}\) → simplificado \(x^{\frac{2}{5}}y^{\frac{3}{5}}\) (no)

1. \(x^{\frac{6}{25}}y^{\frac{7}{25}}\) (no)

1. \(x^{\frac{8}{5}}y^2\) (no)

1. \(xy^{\frac{4}{5}}\) (sí, porque \(x^1 y^{\frac{4}{5}}\))

Wait, me equivoqué en la suma de los exponentes de \(x\): \(\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1\), y de \(y\): \(\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\). Entonces la expresión equivalente es \(x^1 y^{\frac{4}{5}} = xy^{\frac{4}{5}}\), que es la cuarta opción.

Wait, pero vamos a revisar de nuevo:

\((xy)^{\frac{3}{5}} = x^{\frac{3}{5}} y^{\frac{3}{5}}\)

\((x^2 y)^{\frac{1}{5}} = x^{2 \cdot \frac{1}{5}} y^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{1}{5}}\)

Multiplicando \(x\) términos: \(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}} = x^{\frac{3 + 2}{5}} = x^{\frac{5}{5}} = x^1\)

Multiplicando \(y\) términos: \(y^{\frac{3}{5}} \cdot y^{\frac{1}{5}} = y^{\frac{3 + 1}{5}} = y^{\frac{4}{5}}\)

Entonces la expresión es \(x^1 y^{\frac{4}{5}} = xy^{\frac{4}{5}}\), que es la cuarta opción.

Answer:

D. \(xy^{\frac{4}{5}}\) (suponiendo que la cuarta opción es D, pero en la imagen, la cuarta opción es \(xy^{\frac{4}{5}}\))