Question

quiz: section 5.1.4 table to equation name1. given the following table of a quadratic function, create the original equation.x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3y 20 9 0 -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9equation in factored form:equation in standard form:y-intercept______ x-intercepts____ axis of symmetry____ vertex____2. given the following table of a quadratic function, create the original equation.x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3y -27 0 21 36 45 48 45 36 21 0 -27 -60equation in factored form:equation in standard form:y-intercept____ x-intercepts____ axis of symmetry____ vertex______

Explanation:

Problema 1

Paso 1: Identificar intersecciones x

Las intersecciones x son los valores de $x$ donde $y=0$. De la tabla, son $x=-6$ y $x=2$.
La forma factorizada inicial es $y=a(x+6)(x-2)$

Paso 2: Calcular el coeficiente $a$

Usar el punto $(0,-12)$ de la tabla:
$-12 = a(0+6)(0-2)$
$-12 = a(6)(-2)$
$-12 = -12a$
$a = 1$

Paso 3: Escribir forma factorizada

Sustituir $a=1$:
$y=(x+6)(x-2)$

Paso 4: Convertir a forma estándar

Expandir la expresión:
$y = x^2 -2x +6x -12$
$y = x^2 +4x -12$

Paso 5: Encontrar elementos adicionales

• Intersección y: Valor de $y$ cuando $x=0$: $(0,-12)$
• Eje de simetría: $\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-6+2}{2} = -2$
• Vértice: Sustituir $x=-2$ en la ecuación estándar:

$y=(-2)^2 +4(-2) -12 = 4 -8 -12 = -16$, así que el vértice es $(-2,-16)$

Paso 1: Identificar intersecciones x

Los valores de $x$ donde $y=0$ son $x=-7$ y $x=1$.
Forma factorizada inicial: $y=a(x+7)(x-1)$

Paso 2: Calcular el coeficiente $a$

Usar el punto $(0,0)$ de la tabla:
$0 = a(0+7)(0-1)$ (no sirve, usar otro punto como $(2,-27)$):
$-27 = a(2+7)(2-1)$
$-27 = a(9)(1)$
$a = -3$

Paso 3: Escribir forma factorizada

Sustituir $a=-3$:
$y=-3(x+7)(x-1)$

Paso 4: Convertir a forma estándar

Expandir la expresión:
$y=-3(x^2 -x +7x -7)$
$y=-3(x^2 +6x -7)$
$y=-3x^2 -18x +21$

Paso 5: Encontrar elementos adicionales

• Intersección y: Valor de $y$ cuando $x=0$: $(0,21)$
• Eje de simetría: $\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-7+1}{2} = -3$
• Vértice: Sustituir $x=-3$ en la ecuación estándar:

$y=-3(-3)^2 -18(-3) +21 = -27 +54 +21 = 48$, así que el vértice es $(-3,48)$

Answer:

• Equation in Factored Form: $y=(x+6)(x-2)$
• Equation in Standard Form: $y=x^2+4x-12$
• y-intercept: $(0,-12)$
• x-intercepts: $(-6,0)$ y $(2,0)$
• axis of symmetry: $x=-2$
• vertex: $(-2,-16)$

---

Problema 2