Question

rectangle wxyz, shown below, is rotated 90 degrees clockwise around the origin and then translated 4 units down and 3 units to the right to create rectangle wxyz. how long is line segment xy? how long is line segment xw? how long is line segment wz? how long is line segment yz?

Explanation:

Step1: Recordar que rotaciones y traslaciones son transformaciones rígidas

Las transformaciones rígidas preservan longitudes. Entonces, las longitudes de los segmentos de recta en el rectángulo original son iguales a las longitudes de los segmentos de recta en el rectángulo transformado.

Step2: Calcular la longitud de XY

Para calcular la longitud entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ usamos la fórmula $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$. Para $X(-3,5)$ y $Y(4,5)$, $x_1=-3$, $y_1 = 5$, $x_2=4$, $y_2 = 5$. Entonces $d_{XY}=\sqrt{(4 - (-3))^2+(5 - 5)^2}=\sqrt{(4 + 3)^2+0^2}=\sqrt{49}=7$.

Step3: Calcular la longitud de XW

Para $X(-3,5)$ y $W(-3,2)$, $x_1=-3$, $y_1 = 5$, $x_2=-3$, $y_2 = 2$. Entonces $d_{XW}=\sqrt{(-3-(-3))^2+(2 - 5)^2}=\sqrt{0^2+(-3)^2}=\sqrt{9}=3$.

Step4: Calcular la longitud de WZ

Para $W(-3,2)$ y $Z(4,2)$, $x_1=-3$, $y_1 = 2$, $x_2=4$, $y_2 = 2$. Entonces $d_{WZ}=\sqrt{(4-(-3))^2+(2 - 2)^2}=\sqrt{(4 + 3)^2+0^2}=\sqrt{49}=7$.

Step5: Calcular la longitud de YZ

Para $Y(4,5)$ y $Z(4,2)$, $x_1=4$, $y_1 = 5$, $x_2=4$, $y_2 = 2$. Entonces $d_{YZ}=\sqrt{(4 - 4)^2+(2 - 5)^2}=\sqrt{0^2+(-3)^2}=\sqrt{9}=3$.

Answer:

Longitud de $X'Y'$: 7
Longitud de $X'W'$: 3
Longitud de $W'Z'$: 7
Longitud de $Y'Z'$: 3