Question

6 représente les sous - ensembles des nombres réels sur des droites numériques.
a) 1, 8
b) -2, 4
c) 3, 7
d) 0, 40
e) 5, ∞
f) -∞, 11
7 avec sa règle et son compas, axel veut construire un carré dont la surface est rigoureusement équivalente à celle du disque ci - contre. démontre que la construction du carré daxel est irréalisable.
astuce aire du disque : a = πr² aire du carré : a = c²
8 sachant que $\frac{1}{3}=0,overline{3}$, démontre que $0,overline{9}=1$.

Explanation:

Question 7

Step1: Calculer l'aire du disque

Soit $r = 1\ dm$. L'aire du disque est donnée par la formule $A_{disque}=\pi r^{2}$. En remplaçant $r = 1$, on obtient $A_{disque}=\pi\times1^{2}=\pi\ dm^{2}$.

Step2: Calculer la longueur du côté du carré

Soit $c$ la longueur du côté du carré. L'aire du carré est $A_{carré}=c^{2}$. Si $A_{carré}=A_{disque}$, alors $c^{2}=\pi$, et $c = \sqrt{\pi}$.

Step3: Expliquer l'irréalisabilité

Construire un segment de longueur $\sqrt{\pi}$ avec une règle et un compas n'est pas possible car $\pi$ est un nombre transcendant. Les seules longueurs constructibles avec une règle et un compas sont celles issues d'opérations finies d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et de racine carrée sur des nombres rationnels. Puisque $\pi$ est transcendant, $\sqrt{\pi}$ n'est pas constructible avec une règle et un compas.

Question 8

Step1: Soit $x = 0,\overline{9}$

On a $x=0,999\cdots$.

Step2: Multiplier $x$ par 10

$10x=9,999\cdots$.

Step3: Soustraire $x$ de $10x$

$10x - x=(9,999\cdots)-(0,999\cdots)$.
$9x = 9$.

Step4: Résoudre pour $x$

Diviser les deux membres de l'équation $9x = 9$ par 9. On obtient $x = 1$. Donc $0,\overline{9}=1$.

Answer:

La construction du carré d'Axel est irréalisable.