rotations
for items 1 - 2, use △bcd in the figure shown.
1. what are the vertices of the image r(90°, o)(△bcd)?
2. select all the sequences of reflections that produce an image equivalent to the image r(180°, o)(△bcd).
□ a. (rx - axis ∘ ry - axis)(△bcd)
□ b. (ry - axis ∘ rx - axis)(△bcd)
□ c. (rx - axis ∘ rx - axis)(△bcd)
□ d. (ry - axis ∘ ry - axis)(△bcd)
□ e. (ry = x ∘ rx - axis)(△bcd)
3. (overline{ab}) is rotated 120° clockwise about b. then (overline{ab}) is rotated 45° counter - clockwise about a. what is the image of a as a composition of transformations?
a (r(120°, b) ∘ r(- 45°, a))(a)
b (r(- 45°, a) ∘ r(120°, b))(a)
c (r(- 120°, b) ∘ r(45°, a))(a)
d (r(45°, a) ∘ r(- 120°, b))(a)
4. suppose r(140°, p)(a)=b and (r ∘ r)(a)=b. what is m∠cpd?
5. how many times does the rotation r(120°, p) need to be applied to a figure to map the figure onto itself?

Question

Accepted Answer

1. **Explicación paso - a - paso**:
   - **Paso 1: Recuerda las reglas de rotación de $90^{\circ}$ en torno al origen**
     - Para rotar un punto $(x,y)$ $90^{\circ}$ en torno al origen en el sentido anti - reloj, la fórmula es $(x,y)\to(-y,x)$. Debes aplicar esta fórmula a cada vértice de $\triangle BCD$. Sin conocer las coordenadas de los vértices de $\triangle BCD$, no podemos calcular los nuevos vértices exactos, pero el procedimiento es aplicar la fórmula a cada uno de ellos.
2. **Respuesta**:
   - 2. **Explicación paso - a - paso**:
     - **Paso 1: Analiza la rotación de $180^{\circ}$ en torno al origen**
       - Una rotación de $180^{\circ}$ en torno al origen $(0,0)$ de un punto $(x,y)$ da como resultado el punto $(-x,-y)$.
     - **Paso 2: Analiza cada secuencia de reflexiones**
       - A. Una reflexión en el eje $x$ cambia $(x,y)$ a $(x, - y)$, y luego una reflexión en el eje $y$ cambia $(x,-y)$ a $(-x,-y)$.
       - B. Una reflexión en el eje $y$ cambia $(x,y)$ a $(-x,y)$, y luego una reflexión en el eje $x$ cambia $(-x,y)$ a $(-x,-y)$.
       - C. Dos reflexiones en el eje $x$ de $(x,y)$ dan $(x,y)$ (ya que $(x,y)\to(x, - y)$ y luego $(x,-y)\to(x,y)$).
       - D. Dos reflexiones en el eje $y$ de $(x,y)$ dan $(x,y)$ (ya que $(x,y)\to(-x,y)$ y luego $(-x,y)\to(x,y)$).
       - E. Una reflexión en la línea $y = x$ cambia $(x,y)$ a $(y,x)$, y luego una reflexión en el eje $x$ cambia $(y,x)$ a $(y,-x)$.
     - **Respuesta**: A. $(r_{x - axis}\circ r_{y - axis})(\triangle BCD)$, B. $(r_{y - axis}\circ r_{x - axis})(\triangle BCD)$
   - 3. **Explicación paso - a - paso**:
     - **Paso 1: Comprender la composición de transformaciones**
       - Primero se rota $\overline{AB}$ $120^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj en torno a $B$, lo que se representa como $R_{(120^{\circ},B)}$. Luego se rota $45^{\circ}$ en sentido anti - reloj en torno a $A$, lo que se representa como $R_{(- 45^{\circ},A)}$. En una composición de transformaciones, primero se aplica la transformación más cercana al punto, es decir, primero $R_{(120^{\circ},B)}$ y luego $R_{(-45^{\circ},A)}$. La notación para la composición es $(R_{(-45^{\circ},A)}\circ R_{(120^{\circ},B)})(A)$.
     - **Respuesta**: B. $(R_{(-45^{\circ},A)}\circ R_{(120^{\circ},B)})(A)$
   - 4. Sin conocer la figura y la ubicación de los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ y la línea $n$ no es posible calcular $m\angle CPD$.
   - 5. **Explicación paso - a - paso**:
     - **Paso 1: Recuerda la simetría de rotación**
       - Una rotación de $n^{\circ}$ se aplica $k$ veces para que una figura se mapee sobre sí misma. Sabemos que una rotación completa es de $360^{\circ}$. Para una rotación de $120^{\circ}$, resolvemos la ecuación $k\times120^{\circ}=360^{\circ}$, donde $k = 3$.
     - **Respuesta**: 3

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