Question

simplify: (\frac{x^2 - 4x - 12}{x^3 - 10x^2 + 24x})
options: (\frac{x + 4}{x - 8}), (\frac{x + 2}{x^2 - 4x}), (\frac{1}{-2x}), (\frac{x + 2}{x - 4})

Explanation:

Step1: Factorizar numerador y denominador

El numerador es \(x^2 - 4x - 12\). Factorizamos: buscamos dos números que sumen \(-4\) y multipliquen \(-12\). Estos son \(-6\) y \(2\). Entonces, \(x^2 - 4x - 12=(x - 6)(x + 2)\)? No, espera, \( (x - 6)(x + 2)=x^2 - 4x - 12\)? \(x^2+2x - 6x - 12=x^2 - 4x - 12\), sí. El denominador es \(x^3 - 10x^2 + 24x\). Sacamos factor común \(x\): \(x(x^2 - 10x + 24)\). Ahora factorizamos \(x^2 - 10x + 24\): buscamos dos números que sumen \(-10\) y multipliquen \(24\). Estos son \(-6\) y \(-4\). Entonces, \(x^2 - 10x + 24=(x - 6)(x - 4)\). Así, el denominador es \(x(x - 6)(x - 4)\).

Entonces, la fracción es \(\frac{(x - 6)(x + 2)}{x(x - 6)(x - 4)}\).

Step2: Cancelar factores comunes

Tenemos el factor \((x - 6)\) en numerador y denominador, lo cancelamos (suponiendo \(x
eq6\)):

\(\frac{(x - 6)(x + 2)}{x(x - 6)(x - 4)}=\frac{x + 2}{x(x - 4)}\)? Espera, no, espera, el numerador original: \(x^2 - 4x - 12\), factorizado correctamente? Wait, \(x^2 - 4x - 12\): \(x^2 - 4x - 12=(x - 6)(x + 2)\)? \(x^2+2x - 6x - 12=x^2 - 4x - 12\), sí. Denominador: \(x^3 - 10x^2 + 24x=x(x^2 - 10x + 24)=x(x - 6)(x - 4)\), correcto. Entonces cancelando \((x - 6)\), queda \(\frac{x + 2}{x(x - 4)}\)? No, wait, la tercera opción es \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\), y \(x^2 - 4x=x(x - 4)\), así que \(\frac{x + 2}{x(x - 4)}\) es \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\), que es la tercera opción? Wait, no, la tercera opción es \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\)? Wait, las opciones son:

1. \(\frac{x + 4}{x - 8}\)

1. \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\) (tercera opción, porque la imagen: la tercera es \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\))

1. \(\frac{1}{-2x}\)

1. \(\frac{x + 2}{x - 4}\)

Wait, quizás me equivoqué en la factorización. Vamos a rehacer el numerador: \(x^2 - 4x - 12\). Discriminante: \(b^2 - 4ac=16 + 48=64\), raíces: \(\frac{4\pm8}{2}\), así que \(x=\frac{12}{2}=6\) o \(x=\frac{-4}{2}=-2\). Entonces, \(x^2 - 4x - 12=(x - 6)(x + 2)\), correcto. Denominador: \(x^3 - 10x^2 + 24x=x(x^2 - 10x + 24)\). \(x^2 - 10x + 24\): discriminante \(100 - 96=4\), raíces \(\frac{10\pm2}{2}\), \(x=6\) o \(x=4\). Entonces, \(x^2 - 10x + 24=(x - 6)(x - 4)\), correcto. Entonces, la fracción es \(\frac{(x - 6)(x + 2)}{x(x - 6)(x - 4)}\). Cancelando \((x - 6)\) ( \(x
eq6\) ), queda \(\frac{x + 2}{x(x - 4)}=\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\), que es la tercera opción (la segunda en la numeración de opciones? Wait, la imagen: las opciones son:

• Primera: \(\frac{x + 4}{x - 8}\)

• Segunda: \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\) (la tercera en la disposición, porque la primera es la de arriba, segunda, tercera, cuarta). Wait, la imagen:

Las opciones son:

1. \(\frac{x + 4}{x - 8}\)

1. \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\) (tercera opción en la imagen, porque la primera es la de la derecha, segunda, tercera, cuarta a la izquierda)

1. \(\frac{1}{-2x}\)

1. \(\frac{x + 2}{x - 4}\)

Entonces, al cancelar \((x - 6)\), queda \(\frac{x + 2}{x(x - 4)}=\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\), que es la segunda opción (la tercera en la imagen? Wait, la imagen: la primera opción es la más a la derecha: \(\frac{x + 4}{x - 8}\), luego la segunda: \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\), luego la tercera: \(\frac{1}{-2x}\), luego la cuarta: \(\frac{x + 2}{x - 4}\). Entonces la segunda opción (la que está en el segundo círculo desde la derecha) es \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\), que es el resultado de la simplificación.

Answer:

La opción correcta es la segunda (desde la derecha) o la tercera (desde la izquierda) en la imagen, que es \(\boldsymbol{\frac{x + 2}{x^2 - 4x}}\) (la opción con \(\frac{x + 2}{x^2 - 4x}\)).