Question

solve the right triangle.

h to j is \\(\sqrt{43}\\), angle at h is 40 degrees, angle at j is a right angle (marked with red square).

write your answers as integers or as decimals rounded to the nearest tenth.

\\( hi = \square \\)
\\( ij = \square \\)
\\( m\angle i = \square ^\circ \\)

Explanation:

Step1: 求∠I的度数

在直角三角形中，两个锐角和为\(90^{\circ}\)，已知\(\angle H = 40^{\circ}\)，\(\angle J = 90^{\circ}\)，所以\(m\angle I = 90^{\circ}- 40^{\circ}=50^{\circ}\)。

Step2: 求HI的长度

在\(Rt\triangle HIJ\)中，\(\cos\angle H=\frac{HJ}{HI}\)，已知\(HJ = \sqrt{43}\)，\(\angle H = 40^{\circ}\)，则\(HI=\frac{HJ}{\cos40^{\circ}}\)。\(\cos40^{\circ}\approx0.766\)，\(HJ = \sqrt{43}\approx6.56\)，所以\(HI=\frac{6.56}{0.766}\approx8.6\)（这里可能计算有误，重新计算：\(\cos40^{\circ}\approx0.7660\)，\(HJ = \sqrt{43}\approx6.557\)，\(HI=\frac{6.557}{0.7660}\approx8.56\approx8.6\)？不对，应该用邻边和斜边的关系，\(HJ\)是邻边，\(HI\)是斜边，所以\(\cos\angle H=\frac{HJ}{HI}\)，所以\(HI = \frac{HJ}{\cos\angle H}=\frac{\sqrt{43}}{\cos40^{\circ}}\)。\(\cos40^{\circ}\approx0.7660\)，\(\sqrt{43}\approx6.557\)，\(6.557\div0.7660\approx8.56\approx8.6\)？或者用正弦求\(IJ\)，再用勾股定理？

Step3: 求IJ的长度

\(\sin\angle H=\frac{IJ}{HI}\)，或者\(\tan\angle H=\frac{IJ}{HJ}\)，\(\tan40^{\circ}\approx0.8391\)，\(HJ = \sqrt{43}\approx6.557\)，所以\(IJ = HJ\times\tan40^{\circ}\approx6.557\times0.8391\approx5.5\)。然后用勾股定理验证\(HI\)：\(HI=\sqrt{HJ^{2}+IJ^{2}}=\sqrt{43 + 5.5^{2}}=\sqrt{43+30.25}=\sqrt{73.25}\approx8.56\approx8.6\)。

重新整理：

求\(m\angle I\)：

因为直角三角形两锐角互余，\(\angle H + \angle I=90^{\circ}\)，\(\angle H = 40^{\circ}\)，所以\(m\angle I = 90 - 40 = 50^{\circ}\)。

求\(IJ\)：

在\(Rt\triangle HIJ\)中，\(\tan\angle H=\frac{IJ}{HJ}\)，\(\angle H = 40^{\circ}\)，\(HJ=\sqrt{43}\)，\(\tan40^{\circ}\approx0.8391\)，所以\(IJ = HJ\times\tan40^{\circ}=\sqrt{43}\times0.8391\approx6.557\times0.8391\approx5.5\)（或者用正弦：\(\sin\angle H=\frac{IJ}{HI}\)，但先求\(HI\)）。

求\(HI\)：

\(\cos\angle H=\frac{HJ}{HI}\)，所以\(HI=\frac{HJ}{\cos\angle H}=\frac{\sqrt{43}}{\cos40^{\circ}}\)，\(\cos40^{\circ}\approx0.7660\)，\(\sqrt{43}\approx6.557\)，\(6.557\div0.7660\approx8.6\)（或者用勾股定理，\(HI=\sqrt{HJ^{2}+IJ^{2}}\)，如果\(IJ\approx5.5\)，\(HJ^{2}=43\)，\(IJ^{2}\approx30.25\)，和为\(73.25\)，\(\sqrt{73.25}\approx8.56\approx8.6\)）。

答案：

\(HI\approx8.6\)；\(IJ\approx5.5\)；\(m\angle I = 50^{\circ}\)

（注意：可能计算过程中近似值的问题，正确的计算应该更准确。重新计算：

\(\cos40^{\circ}\approx0.7660\)，\(HJ = \sqrt{43}\approx6.5574\)

\(HI=\frac{HJ}{\cos40^{\circ}}=\frac{6.5574}{0.7660}\approx8.56\approx8.6\)

\(\sin40^{\circ}\approx0.6428\)，\(IJ = HI\times\sin40^{\circ}\approx8.56\times0.6428\approx5.5\)

或者用\(\tan40^{\circ}=\frac{IJ}{HJ}\)，\(IJ = HJ\times\tan40^{\circ}=6.5574\times0.8391\approx5.5\)

\(m\angle I = 90 - 40 = 50^{\circ}\)）

Answer:

\(HI\approx\boldsymbol{8.6}\)；\(IJ\approx\boldsymbol{5.5}\)；\(m\angle I=\boldsymbol{50}\)