Question

détermine les propriétés de la fonction f(x) = 5|2x - 8| + 6. domaine? codomaine? valeur initiale? variation - croissante sur? - déroissante sur? extremum? ?

Explanation:

Step 1: Analyser la fonction \( f(x) = \frac{5}{2}x - 8 + 6 \) (simplifier d'abord)

Simplifions la fonction : \( f(x) = \frac{5}{2}x - 2 \). C'est une fonction linéaire de la forme \( f(x)=ax + b \), où \( a=\frac{5}{2} \) et \( b = - 2 \).

Step 2: Déterminer le domaine

Pour une fonction linéaire \( f(x)=ax + b \), le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels, car on peut évaluer la fonction pour n'importe quelle valeur de \( x \) dans \( \mathbb{R} \). Donc, \( \text{Domaine} = \mathbb{R} \) (ou \( (-\infty, +\infty) \)).

Step 3: Déterminer le codomaine

Pour une fonction linéaire avec \( a
eq0 \) (ici \( a = \frac{5}{2}
eq0 \)), le codomaine est aussi l'ensemble des nombres réels, car la fonction est surjective (elle prend toutes les valeurs réelles). Donc, \( \text{Codomaine} = \mathbb{R} \).

Step 4: Valeur initiale (ou valeur en \( x = 0 \))

La valeur initiale est la valeur de la fonction lorsque \( x = 0 \). On remplace \( x \) par 0 dans \( f(x) \) : \( f(0)=\frac{5}{2}(0)-2=-2 \).

Step 5: Variation (croissante ou décroissante)

Pour une fonction linéaire \( f(x)=ax + b \), le coefficient directeur \( a \) détermine la variation :

• Si \( a>0 \), la fonction est croissante sur \( \mathbb{R} \).
• Si \( a<0 \), la fonction est décroissante sur \( \mathbb{R} \).

Ici, \( a=\frac{5}{2}>0 \), donc la fonction est croissante sur \( \mathbb{R} \) et décroissante sur aucun intervalle (ou \( \text{décroissante sur } \emptyset \)).

Step 6: Extremum

Pour une fonction linéaire \( f(x)=ax + b \) avec \( a
eq0 \), il n'y a pas d'extremum (maximum ou minimum local ou global), car la fonction est strictement croissante (ou décroissante) et tend vers \( +\infty \) et \( -\infty \) (selon le signe de \( a \)). Ici, comme \( a>0 \), lorsque \( x
ightarrow+\infty \), \( f(x)
ightarrow+\infty \) et lorsque \( x
ightarrow-\infty \), \( f(x)
ightarrow-\infty \). Donc, il n'y a pas d'extremum (ou on peut dire qu'il n'y a pas de maximum ni de minimum).

Réponses détaillées pour chaque case :

• Domaine : \( \mathbb{R} \) (ou \( (-\infty, +\infty) \))
• Codomaine : \( \mathbb{R} \) (ou \( (-\infty, +\infty) \))
• Valeur initiale : \( - 2 \) (car \( f(0)=\frac{5}{2}(0)-2=-2 \))
• Variation : croissante sur : \( \mathbb{R} \) (ou \( (-\infty, +\infty) \))
• Variation : décroissante sur : \( \emptyset \) (ou "aucun intervalle")
• Extremum : Aucun (ou "Pas d'extremum", car c'est une fonction linéaire non constante, elle n'a pas de maximum ni de minimum)

Answer:

s (pour chaque case) :

• Domaine : \( \boldsymbol{\mathbb{R}} \) (ou \( (-\infty, +\infty) \))
• Codomaine : \( \boldsymbol{\mathbb{R}} \) (ou \( (-\infty, +\infty) \))
• Valeur initiale : \( \boldsymbol{-2} \)
• Croissante sur : \( \boldsymbol{\mathbb{R}} \) (ou \( (-\infty, +\infty) \))
• Décroissante sur : \( \boldsymbol{\emptyset} \) (ou "Aucun intervalle")
• Extremum : \( \boldsymbol{\text{Pas d'extremum}} \) (ou "Aucun maximum ni minimum")