Question

try 2: an olympic diver is training for the high dive. he begins on the diving board 10 meters above the pool. after taking a strong bounce, he reaches his maximum height of 18 meters after 2 seconds. he makes contact with the water after 5 seconds. write an equation of the quadratic in standard form.
a. $y = -2x^2 + 8x - 10$
b. $y = -2x^2 + 8x + 10$
c. $y = -2x^2 - 8x - 10$
d. $y = -2x^2 - 8x + 10$

Explanation:

Step1: Define quadratic model

La altura $y$ (en metros) en función del tiempo $x$ (en segundos) se modela como $y = ax^2 + bx + c$.

Step2: Usar condición inicial ($x=0$, $y=10$)

Cuando $x=0$, $y=10$. Sustituimos en la ecuación:
$10 = a(0)^2 + b(0) + c$
$c = 10$

Step3: Usar punto de máximo ($x=2$, $y=18$)

El vértice de la parábola está en $x=2$, $y=18$. La fórmula de la abscisa del vértice es $x = -\frac{b}{2a}$, así que:
$2 = -\frac{b}{2a} \implies b = -4a$
Sustituimos $x=2$, $y=18$, $c=10$ y $b=-4a$ en la ecuación:
$18 = a(2)^2 + (-4a)(2) + 10$
$18 = 4a - 8a + 10$

Step4: Resolver para $a$

Simplificamos la ecuación anterior:
$18 - 10 = -4a$
$8 = -4a$
$a = -2$

Step5: Calcular $b$

Usamos $b = -4a$ y $a=-2$:
$b = -4(-2) = 8$

Step6: Construir la ecuación

Sustituimos $a=-2$, $b=8$, $c=10$ en $y=ax^2+bx+c$:
$y = -2x^2 + 8x + 10$

Step7: Verificar condición final ($x=5$, $y=0$)

Sustituimos $x=5$ en la ecuación:
$y = -2(5)^2 + 8(5) + 10 = -50 + 40 + 10 = 0$
La condición se cumple.

Answer:

b. $y = -2x^2 + 8x + 10$