Question

1. what equation corresponds to the graph of the hyperbola? (and the graph of the hyperbola is shown with two parabola - like curves opening towards the left and right, centered at (-6,0) and (6,0) on the coordinate plane with x - axis and y - axis labeled with numbers from - 8 to 8)

Explanation:

Step1: Identificar tipo de hipérbola

La gráfica es una hipérbola horizontal (abre hacia los lados izquierdo y derecho, centrada en el origen, con vértices en el eje y: $(0, 6)$ y $(0, -6)$). La forma estándar es $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$.

Step2: Calcular $a^2$

El vértice está en $y = \pm 6$, así que $a = 6$. Entonces $a^2 = 6^2 = 36$.

Step3: Calcular $b^2$

Usando la asíntota: la pendiente de la asíntota es $\frac{a}{b} = \frac{6}{4}$ (por la cuadrícula, se observa que la asíntota pasa por $(4,6)$). Entonces $b = 4$, así que $b^2 = 4^2 = 16$.

Step4: Construir la ecuación

Sustituir $a^2$ y $b^2$ en la forma estándar: $\frac{y^2}{36} - \frac{x^2}{16} = 1$.

Answer:

$\frac{y^2}{36} - \frac{x^2}{16} = 1$