Question

which inequality represents the values of x that ensure triangle abc exists? a. \\(\frac{7}{4} < x < \frac{11}{2}\\) b. \\(-\frac{7}{4} < x < \frac{11}{2}\\) c. \\(1 < x < 5\\) d. \\(2 < x < 6\\)

Explanation:

Step1: 应用三角形三边关系

三角形任意两边之和大于第三边，所以有：

1. \(2x + 4 + 6x > 18\)，即\(8x + 4 > 18\)，\(8x > 14\)，\(x > \frac{14}{8}=\frac{7}{4}\)；
2. \(2x + 4 + 18 > 6x\)，即\(2x + 22 > 6x\)，\(22 > 4x\)，\(x < \frac{22}{4}=\frac{11}{2}\)；
3. \(6x + 18 > 2x + 4\)，即\(4x > -14\)，\(x > -\frac{14}{4}=-\frac{7}{2}\)（此不等式对\(x\)的限制弱于\(x > \frac{7}{4}\)，故忽略）。

Step2: 确定\(x\)的范围

综合前两个有效不等式，得\(\frac{7}{4} < x < \frac{11}{2}\)。

Answer:

A. \(\frac{7}{4} < x < \frac{11}{2}\)