Question

calculate the following information for each semester. use the symbols in the box to compare the data.
symbol word box

(greater than) < (less than) = (equal to)

chris looked at his test scores for the first and second semester of his algebra class.
semester 1: 78, 78, 88, 91, 94
semester 2: 91, 96, 80, 77, 88, 85, 91

	semester 1	symbol	semester 2
median	88		88
mode	78		91
q1	78		80
q3	92.5		91
maximum	94		96
minimum	78		77
range	16		19
interquartile range	14.5		11
standard deviation	7.43		6.66

create a box plot for each semester below.
semester 1
semester 2

Explanation:

Step1: Cálculo de la media para Semestre 1

La media $\bar{x}_1$ se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número de valores. Tenemos $n_1 = 5$, $x_1=\frac{78 + 78+88 + 91+94}{5}=\frac{429}{5}=85.8$.

Step2: Cálculo de la media para Semestre 2

Tenemos $n_2=7$, $x_2=\frac{91 + 96+80 + 77+88+85+91}{7}=\frac{608}{7}\approx86.86$.
Como $85.8<86.86$, el símbolo es $<$.

Step3: Cálculo de la mediana para Semestre 1

Los valores ordenados son $78,78,88,91,94$. El número de valores $n = 5$ (ímpar), entonces la mediana $M_1$ es el valor del centro, es decir, $M_1 = 88$.

Step4: Cálculo de la mediana para Semestre 2

Los valores ordenados son $77,80,85,88,91,91,96$. El número de valores $n = 7$ (ímpar), entonces la mediana $M_2$ es el valor del centro, es decir, $M_2 = 88$. El símbolo es $=$.

Step5: Cálculo de la moda para Semestre 1

La moda es el valor que se repite más veces. Para Semestre 1, la moda $Mo_1 = 78$.

Step6: Cálculo de la moda para Semestre 2

La moda es el valor que se repite más veces. Para Semestre 2, la moda $Mo_2=91$. Como $78 < 91$, el símbolo es $<$.

Step7: Cálculo del primer cuartil ($Q_1$) para Semestre 1

Los valores ordenados son $78,78,88,91,94$. $n = 5$, $Q_1$ es el valor en la posición $\frac{n + 1}{4}=\frac{5+1}{4}=1.5$. Interpolando entre los valores en las posiciones 1 y 2, $Q_1 = 78$.

Step8: Cálculo del primer cuartil ($Q_1$) para Semestre 2

Los valores ordenados son $77,80,85,88,91,91,96$. $n = 7$, $Q_1$ es el valor en la posición $\frac{n + 1}{4}=\frac{7 + 1}{4}=2$. Entonces $Q_1 = 80$. Como $78<80$, el símbolo es $<$.

Step9: Cálculo del tercer cuartil ($Q_3$) para Semestre 1

$Q_3$ está en la posición $\frac{3(n + 1)}{4}=\frac{3\times(5 + 1)}{4}=4.5$. Interpolando entre los valores en las posiciones 4 y 5, $Q_3=\frac{91 + 94}{2}=92.5$.

Step10: Cálculo del tercer cuartil ($Q_3$) para Semestre 2

$Q_3$ está en la posición $\frac{3(n + 1)}{4}=\frac{3\times(7+1)}{4}=6$. Entonces $Q_3 = 91$. Como $92.5>91$, el símbolo es $>$.

Step11: Cálculo del máximo para Semestre 1

El máximo valor en Semestre 1 es $Max_1=94$.

Step12: Cálculo del máximo para Semestre 2

El máximo valor en Semestre 2 es $Max_2=96$. Como $94<96$, el símbolo es $<$.

Step13: Cálculo del mínimo para Semestre 1

El mínimo valor en Semestre 1 es $Min_1=78$.

Step14: Cálculo del mínimo para Semestre 2

El mínimo valor en Semestre 2 es $Min_2=77$. Como $78>77$, el símbolo es $>$.

Step15: Cálculo del rango para Semestre 1

El rango $R_1=Max_1 - Min_1=94 - 78=16$.

Step16: Cálculo del rango para Semestre 2

El rango $R_2=Max_2 - Min_2=96 - 77=19$. Como $16<19$, el símbolo es $<$.

Step17: Cálculo del rango inter - cuartil para Semestre 1

El rango inter - cuartil $IQR_1=Q_3 - Q_1=92.5 - 78=14.5$.

Step18: Cálculo del rango inter - cuartil para Semestre 2

$IQR_2=Q_3 - Q_1=91 - 80=11$. Como $14.5>11$, el símbolo es $>$.

Step19: Cálculo de la desviación estándar para Semestre 1

Usando la fórmula para la desviación estándar poblacional $\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\mu)^2}{n}}$.
$\sum_{i=1}^{5}(x_i - 85.8)^2=(78 - 85.8)^2+(78 - 85.8)^2+(88 - 85.8)^2+(91 - 85.8)^2+(94 - 85.8)^2$
$=(- 7.8)^2+(-7.8)^2+(2.2)^2+(5.2)^2+(8.2)^2$
$=60.84+60.84 + 4.84+27.04+67.24=220.8$.
$\sigma_1=\sqrt{\frac{220.8}{5}}\approx7.43$.

Step20: Cálculo de la desviación estándar para Semestre 2

$\sum_{i = 1}^{7}(x_i - 86.86)^2$
$=(91-86.86)^2+(96 - 86.86)^2+(80 - 86.86)^2+(77 - 86.86)^2+(88 - 86.86)^2+(85 - 86.86)^2+(91 - 86.86)^2$
$\approx(4.14)^2+(9.14)^2+(-6.86)^2+(-9.86)^2+(1.14)^2+(-1.86)^2+(4.14)^2$
$=17.14+83.54+47.06+97.22+1.30+3.46+17.14 = 266.86$.
$\sigma_2=\sqrt{\frac{266.86}{7}}\approx6.16$. Como $7.43>6.16$, el símbolo es $>$.

Answer:

	Semestre 1	Símbolo	Semestre 2
Median	88	$=$	88
Mode	78	$<$	91
$Q_1$	78	$<$	80
$Q_3$	92.5	$>$	91
Maximum	94	$<$	96
Minimum	78	$>$	77
Range	16	$<$	19
Interquartile Range	14.5	$>$	11
Standard Deviation	7.43	$>$	6.16