Question

find the correlation coefficient, r, of the data described below. the design team at an electronics company is evaluating its new prototype for a miniature recording device. as part of this evaluation, designers at the company gathered data about competing devices already on the market. among other things, the designers recorded the thickness of each recording device (in millimeters), x, and its maximum recording length (in minutes), y. thickness (in millimeters) recording time (in minutes) 12 68 14 75 18 97 18 89 26 97 round your answer to the nearest thousandth. r =

Explanation:

Paso 1: Definir las sumatorias iniciales

Sean $x_i$ las variables independientes (espesor) y $y_i$ las variables dependientes (tiempo de grabación). Sea $n = 5$ el número de datos.
Calculamos $\sum_{i = 1}^{n}x_i=12 + 14+18+18+26=88$, $\sum_{i = 1}^{n}y_i=68 + 75+97+89+97=426$, $\sum_{i = 1}^{n}x_i^2=12^2+14^2+18^2+18^2+26^2=144 + 196+324+324+676 = 1664$, $\sum_{i = 1}^{n}y_i^2=68^2+75^2+97^2+89^2+97^2=4624+5625+9409+7921+9409 = 36988$, $\sum_{i = 1}^{n}x_iy_i=12\times68+14\times75+18\times97+18\times89+26\times97=816+1050+1746+1602+2522 = 7736$.

Paso 2: Calcular la covarianza

La fórmula de la covarianza $S_{xy}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i\sum_{i = 1}^{n}y_i}{n - 1}$.
$S_{xy}=\frac{7736-\frac{88\times426}{5}}{4}=\frac{7736-\frac{37488}{5}}{4}=\frac{7736 - 7497.6}{4}=\frac{238.4}{4}=59.6$.

Paso 3: Calcular la desviación estándar de $x$

La fórmula de la desviación estándar de $x$ es $S_x=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i^2-\frac{1}{n}(\sum_{i = 1}^{n}x_i)^2}{n - 1}}$.
$S_x=\sqrt{\frac{1664-\frac{88^2}{5}}{4}}=\sqrt{\frac{1664-\frac{7744}{5}}{4}}=\sqrt{\frac{1664 - 1548.8}{4}}=\sqrt{\frac{115.2}{4}}=\sqrt{28.8}\approx5.3666$.

Paso 4: Calcular la desviación estándar de $y$

La fórmula de la desviación estándar de $y$ es $S_y=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}y_i^2-\frac{1}{n}(\sum_{i = 1}^{n}y_i)^2}{n - 1}}$.
$S_y=\sqrt{\frac{36988-\frac{426^2}{5}}{4}}=\sqrt{\frac{36988-\frac{181476}{5}}{4}}=\sqrt{\frac{36988 - 36295.2}{4}}=\sqrt{\frac{692.8}{4}}=\sqrt{173.2}\approx13.1605$.

Paso 5: Calcular el coeficiente de correlación $r$

La fórmula para el coeficiente de correlación es $r=\frac{S_{xy}}{S_xS_y}$.
$r=\frac{59.6}{5.3666\times13.1605}=\frac{59.6}{70.637}\approx0.844$.

Respuesta:

$r\approx0.844$

Answer:

Paso 1: Definir las sumatorias iniciales

Sean $x_i$ las variables independientes (espesor) y $y_i$ las variables dependientes (tiempo de grabación). Sea $n = 5$ el número de datos.
Calculamos $\sum_{i = 1}^{n}x_i=12 + 14+18+18+26=88$, $\sum_{i = 1}^{n}y_i=68 + 75+97+89+97=426$, $\sum_{i = 1}^{n}x_i^2=12^2+14^2+18^2+18^2+26^2=144 + 196+324+324+676 = 1664$, $\sum_{i = 1}^{n}y_i^2=68^2+75^2+97^2+89^2+97^2=4624+5625+9409+7921+9409 = 36988$, $\sum_{i = 1}^{n}x_iy_i=12\times68+14\times75+18\times97+18\times89+26\times97=816+1050+1746+1602+2522 = 7736$.

Paso 2: Calcular la covarianza

La fórmula de la covarianza $S_{xy}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i\sum_{i = 1}^{n}y_i}{n - 1}$.
$S_{xy}=\frac{7736-\frac{88\times426}{5}}{4}=\frac{7736-\frac{37488}{5}}{4}=\frac{7736 - 7497.6}{4}=\frac{238.4}{4}=59.6$.

Paso 3: Calcular la desviación estándar de $x$

La fórmula de la desviación estándar de $x$ es $S_x=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i^2-\frac{1}{n}(\sum_{i = 1}^{n}x_i)^2}{n - 1}}$.
$S_x=\sqrt{\frac{1664-\frac{88^2}{5}}{4}}=\sqrt{\frac{1664-\frac{7744}{5}}{4}}=\sqrt{\frac{1664 - 1548.8}{4}}=\sqrt{\frac{115.2}{4}}=\sqrt{28.8}\approx5.3666$.

Paso 4: Calcular la desviación estándar de $y$

La fórmula de la desviación estándar de $y$ es $S_y=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}y_i^2-\frac{1}{n}(\sum_{i = 1}^{n}y_i)^2}{n - 1}}$.
$S_y=\sqrt{\frac{36988-\frac{426^2}{5}}{4}}=\sqrt{\frac{36988-\frac{181476}{5}}{4}}=\sqrt{\frac{36988 - 36295.2}{4}}=\sqrt{\frac{692.8}{4}}=\sqrt{173.2}\approx13.1605$.

Paso 5: Calcular el coeficiente de correlación $r$

La fórmula para el coeficiente de correlación es $r=\frac{S_{xy}}{S_xS_y}$.
$r=\frac{59.6}{5.3666\times13.1605}=\frac{59.6}{70.637}\approx0.844$.

Respuesta:

$r\approx0.844$