Question

b) à partir de quel moment le projectile atteint-il une hauteur supérieure celle de lhélicoptère ?
$h = -4t^2 +64t -112 > h = 13t + 5$

c) combien de secondes séparent les deux moments où le projectile et lhélicoptère se trouvent à la même hauteur ?

d) quelle sera la hauteur de lhélicoptère au moment où le projectile retombera sur le sol ?

Explanation:

Step 1: Résoudre l'inéquation (question b)

On pose l'inéquation de hauteurs :
$$-4t^2 + 64t - 112 > 13t + 5$$
On ramène tous les termes d'un côté :
$$-4t^2 + 64t - 112 - 13t - 5 > 0$$
$$-4t^2 + 51t - 117 > 0$$
On multiplie par -1 (on inverse le signe de l'inégalité) :
$$4t^2 - 51t + 117 < 0$$
On résout l'équation quadratique associée $4t^2 - 51t + 117 = 0$ :
Calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-51)^2 - 4 \times 4 \times 117 = 2601 - 1872 = 729 = 27^2$
Les racines sont :
$$t_1 = \frac{51 - 27}{8} = \frac{24}{8} = 3$$
$$t_2 = \frac{51 + 27}{8} = \frac{78}{8} = 9.75$$
L'inéquation $4t^2 - 51t + 117 < 0$ est vérifiée entre les deux racines.

Step 2: Calculer l'écart (question c)

L'écart entre les deux moments de même hauteur est la différence entre les deux racines :
$$t_2 - t_1 = 9.75 - 3 = 6.75$$

Step 3: Trouver l'impact du projectile (question d)

On cherche quand le projectile retombe sur le sol : $h(t) = 0$
$$-4t^2 + 64t - 112 = 0$$
On divise par -4 :
$$t^2 - 16t + 28 = 0$$
Discriminant $\Delta = (-16)^2 - 4 \times 1 \times 28 = 256 - 112 = 144 = 12^2$
Racines :
$$t_1 = \frac{16 - 12}{2} = 2 \quad (\text{moment du lancement})$$
$$t_2 = \frac{16 + 12}{2} = 14 \quad (\text{moment de l'impact})$$
On calcule la hauteur de l'hélicoptère à $t=14$ :
$$h_{hélico}(14) = 13 \times 14 + 5 = 182 + 5 = 187$$

Answer:

b) À partir de $t=3$ secondes et jusqu'à $t=9.75$ secondes, le projectile est plus haut que l'hélicoptère.
c) 6.75 secondes séparent les deux moments.
d) La hauteur de l'hélicoptère sera de 187 unités de longueur.