Question

#1. pour chacune des tables de valeurs suivantes, indique sil sagit dune fonction rationnelle ou linéaire, si celle-ci est croissante, décroissante ou constante et donne léquation de cette fonction.
a)

x	2	4	12
f(x)	21	10,5	3,5

b)

x	0	3	8
f(x)	0	-15	-40

c)

x	0	5	10
f(x)	-7	-22	-37

d)

x	0,3	20	90
f(x)	9	0,135	0,03

Explanation:

Partie a)

Step 1: Vérifier le type de fonction (rationnelle ou linéaire)

Calculons le produit \( x \times f(x) \) pour chaque paire :

• Pour \( x = 2 \) et \( f(x) = 21 \) : \( 2 \times 21 = 42 \)
• Pour \( x = 4 \) et \( f(x) = 10,5 \) : \( 4 \times 10,5 = 42 \)
• Pour \( x = 12 \) et \( f(x) = 3,5 \) : \( 12 \times 3,5 = 42 \)

Le produit \( x \times f(x) \) est constant (\( 42 \)), donc \( f(x) = \frac{42}{x} \) (fonction rationnelle).

Step 2: Déterminer la monotonie

Quand \( x \) augmente (de 2 à 4 à 12), \( f(x) \) diminue (de 21 à 10,5 à 3,5). Donc la fonction est décroissante.

Step 3: Équation de la fonction

D’après le produit constant \( x \times f(x) = 42 \), on déduit \( f(x) = \frac{42}{x} \).

Partie b)

Step 1: Vérifier le type de fonction (linéaire)

Calculons le taux de variation \( m \) entre les points :

• Entre \( (0, 0) \) et \( (3, -15) \) : \( m = \frac{-15 - 0}{3 - 0} = -5 \)
• Entre \( (3, -15) \) et \( (8, -40) \) : \( m = \frac{-40 - (-15)}{8 - 3} = \frac{-25}{5} = -5 \)

Le taux de variation est constant (\( m = -5 \)), donc la fonction est linéaire.

Step 2: Déterminer la monotonie

Le taux de variation \( m = -5 \) est négatif, donc la fonction est décroissante.

Step 3: Équation de la fonction

La forme linéaire est \( f(x) = mx + b \). Comme \( x = 0 \) donne \( f(0) = 0 \), alors \( b = 0 \). Ainsi, \( f(x) = -5x \).

Partie c)

Step 1: Vérifier le type de fonction (linéaire)

Calculons le taux de variation \( m \) entre les points :

• Entre \( (0, -7) \) et \( (5, -22) \) : \( m = \frac{-22 - (-7)}{5 - 0} = \frac{-15}{5} = -3 \)
• Entre \( (5, -22) \) et \( (10, -37) \) : \( m = \frac{-37 - (-22)}{10 - 5} = \frac{-15}{5} = -3 \)

Le taux de variation est constant (\( m = -3 \)), donc la fonction est linéaire.

Step 2: Déterminer la monotonie

Le taux de variation \( m = -3 \) est négatif, donc la fonction est décroissante.

Step 3: Équation de la fonction

La forme linéaire est \( f(x) = mx + b \). Comme \( x = 0 \) donne \( f(0) = -7 \), alors \( b = -7 \). Ainsi, \( f(x) = -3x - 7 \).

Partie d)

Answer:

Step 1: Vérifier le type de fonction (rationnelle)

Calculons le produit \( x \times f(x) \) pour chaque paire :

• Pour \( x = 0,3 \) et \( f(x) = 9 \) : \( 0,3 \times 9 = 2,7 \)
• Pour \( x = 20 \) et \( f(x) = 0,135 \) : \( 20 \times 0,135 = 2,7 \)
• Pour \( x = 90 \) et \( f(x) = 0,03 \) : \( 90 \times 0,03 = 2,7 \)

Le produit \( x \times f(x) \) est constant (\( 2,7 \)), donc \( f(x) = \frac{2,7}{x} \) (fonction rationnelle).

Step 2: Déterminer la monotonie

Quand \( x \) augmente (de 0,3 à 20 à 90), \( f(x) \) diminue (de 9 à 0,135 à 0,03). Donc la fonction est décroissante.

Step 3: Équation de la fonction

D’après le produit constant \( x \times f(x) = 2,7 \), on déduit \( f(x) = \frac{2,7}{x} \) (ou \( f(x) = \frac{27}{10x} \)).

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Réponses :

a)

• Type : Fonction rationnelle
• Monotonie : Décroissante
• Équation : \( \boldsymbol{f(x) = \frac{42}{x}} \)

b)

• Type : Fonction linéaire
• Monotonie : Décroissante
• Équation : \( \boldsymbol{f(x) = -5x} \)

c)

• Type : Fonction linéaire
• Monotonie : Décroissante
• Équation : \( \boldsymbol{f(x) = -3x - 7} \)

d)

• Type : Fonction rationnelle
• Monotonie : Décroissante
• Équation : \( \boldsymbol{f(x) = \frac{2,7}{x}} \) (ou \( \frac{27}{10x} \))