Question

question 1
on a établi que sur 100 ménages québécois, 80 ne possédaient pas de chat, 75 ne possédaient pas de chien, et 70 ne possédaient ni un chat ni un chien. on sélectionne aléatoirement un ménage québécois parmi 100.
on note les événements comme suit :

• a : « le ménage possède un chat »;
• b : « le ménage possède un chien ».

a) représentez les événements dans un diagramme de venn.

b) donnez le sens et la valeur de p(a^c).

c) donnez le sens et la valeur de p(a∩b).

d) comment symbolise - t - on la probabilité quun ménage québécois possède un chien mais pas de chat?

e) quelle est la probabilité quun ménage québécois possède un chien mais pas de chat?

Explanation:

Step1: Calculer le nombre d'éléments pour chaque événement

On sait que $n = 100$, $n(A^{c})=80$, $n(B^{c}) = 75$, $n(A^{c}\cap B^{c})=70$. Donc $n(A)=100 - 80=20$, $n(B)=100 - 75 = 25$.

Step2: Représenter dans un diagramme de Venn (explications textuelles)

Le diagramme de Venn a deux cercles, un pour $A$ (ménages avec chat) et un pour $B$ (ménages avec chien). La partie extérieure aux deux cercles représente $A^{c}\cap B^{c}$ (70 ménages).

Step3: Trouver $P(A^{c})$

Le sens de $P(A^{c})$ est la probabilité qu'un ménage ne possède pas de chat. $P(A^{c})=\frac{n(A^{c})}{n}=\frac{80}{100}=0.8$.

Step4: Trouver $P(A\cap B)$

On utilise la formule $n(A\cup B)=n - n(A^{c}\cap B^{c})=100 - 70 = 30$. En utilisant la formule $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$, on remplace les valeurs: $30=20 + 25 - n(A\cap B)$. Donc $n(A\cap B)=15$ et $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n}=\frac{15}{100}=0.15$.

Step5: Symboliser la probabilité pour un chien sans chat

La probabilité qu'un ménage possède un chien mais pas de chat est symbolisée par $P(B\cap A^{c})$.

Step6: Calculer $P(B\cap A^{c})$

On sait que $n(B\cap A^{c})=n(B)-n(A\cap B)=25 - 15 = 10$. Donc $P(B\cap A^{c})=\frac{n(B\cap A^{c})}{n}=\frac{10}{100}=0.1$.

Answer:

a) Le diagramme de Venn a deux cercles s'entrecroisant. La partie extérieure aux deux cercles a 70 éléments. Le cercle $A$ a 20 éléments en total, le cercle $B$ a 25 éléments en total et l'intersection $A\cap B$ a 15 éléments.
b) Sens: Probabilité qu'un ménage ne possède pas de chat. Valeur: $0.8$
c) Sens: Probabilité qu'un ménage possède à la fois un chat et un chien. Valeur: $0.15$
d) $P(B\cap A^{c})$
e) $0.1$