Question

d) $lim_{x \to 1}\frac{sqrt{x + 3}-2}{x - 1}$

Explanation:

Step1: Rationaliser le numérateur

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{x + 3}+2$.

$$\lim_{x ightarrow1}\frac{\sqrt{x + 3}-2}{x - 1}\times\frac{\sqrt{x + 3}+2}{\sqrt{x + 3}+2}$$

Step2: Appliquer la formule $(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$ au numérateur

Le numérateur devient $(\sqrt{x + 3})^{2}-2^{2}=x + 3-4=x - 1$.

$$\lim_{x ightarrow1}\frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3}+2)}$$

Step3: Simplifier la fraction

On peut annuler le facteur $(x - 1)$ dans le numérateur et le dénominateur.

$$\lim_{x ightarrow1}\frac{1}{\sqrt{x + 3}+2}$$

Step4: Calculer la limite

On remplace $x$ par $1$ dans l'expression $\frac{1}{\sqrt{x + 3}+2}$.
$$\frac{1}{\sqrt{1+3}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2 + 2}=\frac{1}{4}$$

Answer:

$\frac{1}{4}$