Question

1. prove each identity. a) \\(dfrac{cos^2 \theta - sin^2 \theta}{cos^2 \theta + sin \theta cos \theta} = 1 - \tan \theta\\)

Explanation:

Step1: 拆分分子分母项

将分式拆分为两个分式的差：
$\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos^2\theta + \sin\theta\cos\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta + \sin\theta\cos\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta + \sin\theta\cos\theta}$

Step2: 提取公因式约分

对两个分式的分母提取公因式$\cos\theta$，再约分：
第一个分式：$\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta(\cos\theta + \sin\theta)} = \frac{\cos\theta}{\cos\theta + \sin\theta}$
第二个分式：$\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta(\cos\theta + \sin\theta)}$
原式变为：$\frac{\cos\theta}{\cos\theta + \sin\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta(\cos\theta + \sin\theta)}$

Step3: 通分合并分子

通分后合并分子：
$\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos\theta(\cos\theta + \sin\theta)}$
由平方差公式$\cos^2\theta - \sin^2\theta=(\cos\theta - \sin\theta)(\cos\theta + \sin\theta)$，代入得：
$\frac{(\cos\theta - \sin\theta)(\cos\theta + \sin\theta)}{\cos\theta(\cos\theta + \sin\theta)}$

Step4: 约分并拆分整理

约去$\cos\theta + \sin\theta$，拆分分式：
$\frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\cos\theta}{\cos\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
由$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$，化简得：
$1 - \tan\theta$

Answer:

$\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos^2\theta + \sin\theta\cos\theta}=1 - \tan\theta$，等式得证。