Question

déterminez la règle de chaque fonction.
a)
graph of a function with vertical asymptote at x = -8, horizontal asymptote at y = 4 (approx), and a point (-3, 3) marked

Explanation:

Step1: Identifier le type de fonction

La fonction semble être une fonction rationnelle, plus précisément une fonction hyperbolique de la forme \( f(x) = \frac{k}{x - a} + b \), où \( x = a \) est l'asymptote verticale et \( y = b \) est l'asymptote horizontale. D'après le graphique, l'asymptote verticale est \( x = -8 \) (car la courbe s'approche de \( x = -8 \)) et l'asymptote horizontale est \( y = 4 \)? Attendez, non, regardons le point \( (-3, 3) \) et l'asymptote horizontale. En fait, l'asymptote horizontale semble être \( y = 4 \)? Non, attendons, le point \( (-3, 3) \) et l'asymptote verticale \( x = -8 \). Soit la fonction est de la forme \( f(x) = \frac{k}{x + 8} + c \).

Step2: Déterminer les asymptotes

L'asymptote verticale est \( x = -8 \), donc le dénominateur est \( x + 8 \). L'asymptote horizontale: en observant le graphique, la courbe s'approche d'une valeur horizontale. Regardons le point \( (-3, 3) \). Si on suppose que l'asymptote horizontale est \( y = 4 \)? Non, peut - être \( y = 4 \)? Attendez, peut - être que l'asymptote horizontale est \( y = 4 \), mais le point \( (-3, 3) \) est sur la courbe. Soit \( f(x)=\frac{k}{x + 8}+4 \). En substituant \( x=-3 \) et \( f(-3) = 3 \):

\( 3=\frac{k}{-3 + 8}+4 \)

\( 3=\frac{k}{5}+4 \)

\( \frac{k}{5}=3 - 4=-1 \)

\( k=-5 \)

Donc la fonction serait \( f(x)=\frac{-5}{x + 8}+4=\frac{-5 + 4(x + 8)}{x + 8}=\frac{4x+27}{x + 8} \)? Non, ce n'est pas correct. Attendez, peut - être que l'asymptote horizontale est \( y = 4 \)? Non, peut - être que l'asymptote horizontale est \( y = 4 \), mais le point \( (-3,3) \). Ou peut - être que l'asymptote horizontale est \( y = 4 \), et on a fait une erreur. Attendez, peut - être que l'asymptote horizontale est \( y = 4 \), mais le point \( (-3,3) \). Soit la fonction est \( f(x)=\frac{k}{x + 8}+4 \). En remplaçant \( x=-3 \), \( f(-3)=3 \):

\( 3=\frac{k}{-3 + 8}+4\Rightarrow3=\frac{k}{5}+4\Rightarrow k=-5 \). Donc \( f(x)=\frac{-5}{x + 8}+4=\frac{-5 + 4x + 32}{x + 8}=\frac{4x + 27}{x + 8} \). Mais vérifions: quand \( x\to\pm\infty \), \( f(x)\to\frac{4x}{x}=4 \), donc l'asymptote horizontale est \( y = 4 \), ce qui correspond. Et pour \( x=-3 \), \( f(-3)=\frac{4\times(-3)+27}{-3 + 8}=\frac{-12 + 27}{5}=\frac{15}{5}=3 \), ce qui correspond au point \( (-3,3) \).

Ou peut - être que l'asymptote horizontale est \( y = 4 \), et la fonction est \( f(x)=\frac{-5}{x + 8}+4 \).

Answer:

La règle de la fonction est \( f(x)=\frac{4x + 27}{x + 8} \) (ou \( f(x)=\frac{-5}{x + 8}+4 \))