Question

1. in the table below, data is represented from a two - variable distribution.

x	4	5	7	9	10	14	15	16	17	18
y	10	13	17	21	25	30	32	40	38	45

using the mayer line, estimate the value of y for x = 12.
a) 26.8 c) 28.2
b) 19.5 d) 27.5

1. which shaded region represents the solution set to the inequality: (y - 2geq - 2(x - 3)^{2})?

a) image of a parabola opening downward with vertex between x = 2 and x = 4, shaded above the parabola between x = 2 and x = 4, and below outside c) image of a parabola opening upward with vertex between x = 2 and x = 4, shaded outside the parabola
b) image of a parabola opening downward with vertex between x = 2 and x = 4, shaded above the parabola everywhere d) image of a parabola opening upward with vertex between x = 2 and x = 4, shaded above the parabola

Explanation:

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문제 5

Step1: 계산 준비: 평균 구하기

먼저 $x$와 $y$의 평균을 계산합니다.
$n=10$ (데이터 개수)
$\bar{x} = \frac{4+5+7+9+10+14+15+16+17+18}{10} = \frac{115}{10} = 11.5$
$\bar{y} = \frac{10+13+17+21+25+30+32+40+38+45}{10} = \frac{271}{10} = 27.1$

Step2: 기울기 $b$ 계산

기울기 공식은 $b = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$ 입니다.
분자: $\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$
$=(4-11.5)(10-27.1)+(5-11.5)(13-27.1)+(7-11.5)(17-27.1)+(9-11.5)(21-27.1)+(10-11.5)(25-27.1)+(14-11.5)(30-27.1)+(15-11.5)(32-27.1)+(16-11.5)(40-27.1)+(17-11.5)(38-27.1)+(18-11.5)(45-27.1)$
$=(-7.5)(-17.1)+(-6.5)(-14.1)+(-4.5)(-10.1)+(-2.5)(-6.1)+(-1.5)(-2.1)+(2.5)(2.9)+(3.5)(4.9)+(4.5)(12.9)+(5.5)(10.9)+(6.5)(17.9)$
$=128.25+91.65+45.45+15.25+3.15+7.25+17.15+58.05+59.95+116.35 = 542.5$

분모: $\sum(x_i-\bar{x})^2$
$=(-7.5)^2+(-6.5)^2+(-4.5)^2+(-2.5)^2+(-1.5)^2+(2.5)^2+(3.5)^2+(4.5)^2+(5.5)^2+(6.5)^2$
$=56.25+42.25+20.25+6.25+2.25+6.25+12.25+20.25+30.25+42.25 = 238.5$

$b = \frac{542.5}{238.5} \approx 2.2746$

Step3: 절편 $a$ 계산

절편 공식은 $a = \bar{y} - b\bar{x}$ 입니다.
$a = 27.1 - 2.2746 \times 11.5 \approx 27.1 - 26.1579 = 0.9421$

Step4: $x=12$일 때 $y$ 추정

회귀식: $\hat{y} = a + bx$
$\hat{y} = 0.9421 + 2.2746 \times 12 \approx 0.9421 + 27.2952 = 28.2373$

1. 먼저 부등식을 정리하면 $y \geq -2(x-3)^2 + 2$ 입니다.
2. 기본 함수 $y=-2(x-3)^2$는 아래로 열리는 포물선이고, 상수항 +2로 인해 y축 방향으로 2만큼 이동합니다.
3. 부등식 기호가 $\geq$ 이므로 포물선 위쪽 영역을 포함하며, 포물선 자체도 솔루션 집합에 포함됩니다.
4. 포물선의 근은 $-2(x-3)^2 + 2 = 0$ 을 풀면 $(x-3)^2=1$ → $x=2, 4$로, x=2와 x=4에서 x축과 만납니다.

Answer:

C) 28.2

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문제 6